题目内容

已知△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，P、Q分别是边AB、BC上的动点，且点P不与点A、B重合，点Q不与点B、C重合．
（1）在以下五个结论中：①∠CQP=45°；②PQ=AC；③以A、P、C为顶点的三角形全等于△PQB；④以A、P、C为顶点的三角形全等于△CPQ；⑤以A、P、C为顶点的三角形相似于△CPQ．一定不成立的是______．（只需将结论的代号填入题中的模线上）．
（2）设AC=BC=1，当CQ的长取不同的值时，△CPQ是否可能为直角三角形？若可能，请说明所有的情况；若不可能，请说明理由．

解：（1）①，④

（2）可能．
例如：过Q作QP⊥BC，交AB于P点，连接CP，则△CPQ为直角三角形，作∠CAB的平分线AO，交BC于O点．作OP₁⊥AB于P₁点．
∴CO=OP₁以O为圆心，OC为半径作⊙O，⊙O与AB相切，切点为P₁，与CB的交点为D．
设CO=t，则OP₁=5，CD=2t，OB=1-t．
由△ABC∽△OBP₁，得
$\text{[math]}$ ，
∴ $\text{[math]}$ ，
∴t= $\text{[math]}$ -1，
∴CD=2 $\text{[math]}$ -2，
∴当Q与点D重合时，以CQ为直径的圆与AB相切，切点为P₁，连CP₁、P₁Q，△CP₁Q为直角三角形，此时共有两个直角三角形
当Q点在线段CD上时（不与C、D重合），0＜CQ＜2 $\text{[math]}$ -2，以CQ为直径的圆与AB相离，此时只有一个直角三角形CQP．
当Q点在DB上时（不与D、B重合），2 $\text{[math]}$ -2＜CQ＜1，以CQ为直径的圆与AB有两个交点P₂、P₃．分别连接P₂、P₃与点C和Q，得直角三角形CQP₂和CQP₃，此时有三个直角三角形．
分析：（1）由题意可知一定不成立的有：①，④．
（2）过Q作QP⊥BC，交AB于P点，连接CP，则△CPQ为直角三角形，作∠CAB的平分线AO，交BC于O点．作OP₁⊥AB于P₁点．设CO=t，则OP₁=5，CD=2t，OB=1-t．先根据相似三角形△ABC∽△OBP₁的性质求得t值，即得到线段CD的长度，再分情况讨论．①Q与点D重合时，以CQ为直径的圆与AB相切，②Q点在线段CD上时（不与C、D重合），0＜CQ＜2 $\text{[math]}$ -2，以CQ为直径的圆与AB相离，③Q点在DB上时（不与D、B重合），2 $\text{[math]}$ -2＜CQ＜1，以CQ为直径的圆与AB有两个交点P₂、P₃．
点评：此类题目是相似与圆的知识的综合运用，难点在第（2）题，解决的根据是三角形相似的性质和直线和圆的三种位置关系．