Question

【题目】如图，△内接于⊙， 60°，是⊙的直径，点是延长线上的一点，且.

（1）求证： 是⊙的切线；

（2）若，求⊙的直径.

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2）⊙的直径为

【解析】试题分析：（1）连结AD，OA，如图，根据圆周角定理得∠DAC＝90°，∠ADC＝∠B＝60°，则利用三角形内角和定理得∠ACD＝30°，由于AP＝AC，利用等腰三角形的性质易得∠P＝30°．可得△OAD为等边三角形，则∠DOA＝60°，而∠P＝30°，则可计算出∠OAP＝90°，然后根据切线的判定定理得到PA是⊙O的切线；

（2）在Rt△APO中，根据含30度的直角三角形性质得到OA＝OP，即OD＋PD＝2OA，而OD＝OA，于是有OA＝PD＝，从而得到圆的直径．

【解答】（1）证明：连结AD，OA，如图，

∵CD是⊙O的直径，

∴∠DAC＝90°，

∵∠ADC＝∠B＝60°，

∴∠ACD＝30°，

∵AP＝AC，

∴∠P＝∠ACP＝30°．

∵OD＝OA，∠ADO＝60°，

∴△OAD为等边三角形，

∴∠DOA＝60°，

而∠P＝30°，

∴∠OAP＝90°，

∴OA⊥AP，

∴PA是⊙O的切线；

（2）解：在Rt△APO中，∵∠P＝30°，

∴OA＝OP，即OD＋PD＝2OA，

而OD＝OA，

∴OA＝PD＝，

∴⊙O的直径为 ．