Question

7．如图1，二次函数y=ax²+bx+c的图象与x轴分别交于A、B两点，与y轴交于点C．若tan∠ABC=3，一元二次方程ax²+bx+c=0的两根为-8、2．
（1）求二次函数的解析式；
（2）直线l绕点A以AB为起始位置顺时针旋转到AC位置停止，l与线段BC交于点D，P是AD的中点．
①求点P的运动路程；
②如图2，过点D作DE垂直x轴于点E，作DF⊥AC所在直线于点F，连结PE、PF，在l运动过程中，∠EPF的大小是否改变？请说明理由；
（3）在（2）的条件下，连结EF，求△PEF周长的最小值．

Answer 1

分析 （1）利用tan∠ABC=3，得出C点坐标，再利用待定系数法求出二次函数解析式；
（2）①当l在AB位置时，P即为AB的中点H，当l运动到AC位置时，P即为AC中点K，则P的运动路程为△ABC的中位线HK，再利用勾股定理得出答案；
②首先利用等腰三角形的性质得出∠PAE=∠PEA=$\frac{1}{2}$∠EPD，同理可得：∠PAF=∠PFA=$\frac{1}{2}$∠DPF，进而求出∠EPF=∠EPD+∠FPD=2（∠PAE+∠PAF），即可得出答案；
（3）首先得出C_△PEF=AD+EF，进而得出EG=$\frac{3}{5}$PE，EF=$\frac{6}{5}$PE=$\frac{3}{5}$AD，利用C_△PEF=AD+EF=（1+$\frac{3}{5}$）AD=$\frac{8}{5}$AD，得出最小值即可．

解答 解：（1）∵函数y=ax²+bx+c与x轴交于A、B两点，且一元二次方程ax²+bx+c=0两根为：-8，2，
∴A（-8，0）、B（2，0），即OB=2，
又∵tan∠ABC=3，∴OC=6，即C（0，-6），
将A（-8，0）、B（2，0）代入y=ax²+bx-6中，得：
$\left\{\begin{array}{l}{64a-8b-6=0}\\{4a+2b-6=0}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{a=\frac{3}{8}}\\{b=\frac{9}{4}}\end{array}\right.$，
∴二次函数的解析式为：y=$\frac{3}{8}$x²+$\frac{9}{4}$x-6；

（2）①如图1，当l在AB位置时，P即为AB的中点H，
当l运动到AC位置时，P即为AC中点K，
∴P的运动路程为△ABC的中位线HK，
∴HK=$\frac{1}{2}$BC，
在Rt△BOC中，OB=2，OC=6，
∴BC=2$\sqrt{10}$，∴HK=$\sqrt{10}$，
即P的运动路程为：$\sqrt{10}$；

②∠EPF的大小不会改变，
理由如下：如图2，∵DE⊥AB，
∴在Rt△AED中，P为斜边AD的中点，
∴PE=$\frac{1}{2}$AD=PA，
∴∠PAE=∠PEA=$\frac{1}{2}$∠EPD，
同理可得：∠PAF=∠PFA=$\frac{1}{2}$∠DPF，
∴∠EPF=∠EPD+∠FPD=2（∠PAE+∠PAF），
即∠EPF=2∠EAF，
又∵∠EAF大小不变，
∴∠EPF的大小不会改变；

（3）设△PEF的周长为C，则C_△PEF=PE+PF+EF，
∵PE=$\frac{1}{2}$AD，PF=$\frac{1}{2}$AD，
∴C_△PEF=AD+EF，
在等腰三角形PEF中，如图2，过点P作PG⊥EF于点G，
∴∠EPG=$\frac{1}{2}$∠EPF=∠BAC，
∵tan∠BAC=$\frac{OC}{AO}$=$\frac{3}{4}$，
∴tan∠EPG=$\frac{EG}{PG}$=$\frac{3}{4}$，
∴EG=$\frac{3}{5}$PE，EF=$\frac{6}{5}$PE=$\frac{3}{5}$AD，
∴C_△PEF=AD+EF=（1+$\frac{3}{5}$）AD=$\frac{8}{5}$AD，
又当AD⊥BC时，AD最小，此时C_△PEF最小，
又S_△ABC=30，
∴$\frac{1}{2}$BC×AD=30，
∴AD=3$\sqrt{10}$，
∴C_△PEF最小值为：$\frac{8}{5}$AD=$\frac{24}{5}$$\sqrt{10}$．

点评 此题主要考查了二次函数综合以及待定系数法求二次函数解析式和直角三角形中线的性质等知识，用AD表示出△PEF的周长是解题关键．