Question

2．如图，P为等腰△ABC的顶角A的外角平分线上任一点，连接PB，PC．
（1）求证：PB+PC＞2AB．
（2）当PC=2，PB=$2\sqrt{5}$，∠ACP=45°时，求AB的长．

Answer 1

分析 （1）在BA延长线上截取AD=AC，连接DP，由APSAS证明△ADP≌△ACP，得出PC=PD，在△BPD中，根据三边关系得到PB+PD＞BD，等量代换即可得证；
（2）作PH⊥BD于H，则∠PHD=∠PHB=90°，由△ADP≌△ACP，得出∠PDA=∠PCA=45°，PD=PC=2，求出DH=PH=$\sqrt{2}$，由勾股定理求出BH，得出BD，即可求出AB的长．

解答 （1）证明：在BA延长线上截取AD=AC，连接DP，如图1所示：
∵AP平分∠DAC，
∴∠DAP=∠CAP，
在△ADP和△ACP中，
$\left\{\begin{array}{l}{AD=AC}\\{∠DAP=∠CAP}\\{AP=AP}\end{array}\right.$，
∴△ADP≌△ACP（SAS），
∴PC=PD，
在△BPD中，PB+PD＞BD=AB+AD，
∴PB+PC＞AB+AC，
∵AB=AC，
∴PB+PC＞2AB；
（2）解：作PH⊥BD于H，如图2所示：
则∠PHD=∠PHB=90°，
∵△ADP≌△ACP，
∴∠PDA=∠PCA=45°，PD=PC=2，
∴DH=PH=$\sqrt{2}$，
在Rt△PHB中，根据勾股定理得：
BH=$\sqrt{B{P}^{2}-P{H}^{2}}$=$\sqrt{（2\sqrt{5}）^{2}-（\sqrt{2}）^{2}}$=3$\sqrt{2}$，
∴BD=BH+DH=4$\sqrt{2}$，
∴AB=$\frac{1}{2}$BD=2$\sqrt{2}$．

点评 此题考查了全等三角形的判定与性质、三角形的三边关系、勾股定理、等腰直角三角形的性质；熟练掌握全等三角形的判定与性质是解决问题的关键．