Question

17．如图，二次函数y=-x²+ax+b的图象与x轴交于$A（-\frac{1}{2}，0）$，B（2，0）两点，且与y轴交于点C．
（1）求该抛物线的解析式，并判断△ABC的形状；
（2）在此抛物线上是否存在点P，使得以A、C、B、P四点为顶点的四边形是直角梯形？若存在，求出P点的坐标；若不存在，说明理由．

Answer 1

分析 （1）由于二次函数y=-x²+ax+b的图象经过$A（-\frac{1}{2}，0）$，B（2，0）两点，利用待定系数法就可以直接求出a、b的值，求出抛物线的解析式；
（2）在（1）题已将证得∠ACB=90°，若A、C、B、P四点为顶点的四边形是直角梯形，则有两种情况需要考虑：
①以BC、AP为底，AC为高；可先求出直线BC的解析式，进而可确定直线AP的解析式，联立抛物线的解析式即可求出点P的坐标．
②以AC、BP为底，BC为高；方法同①．

解答 解：（1））∵二次函数y=-x²+ax+b的图象经过$A（-\frac{1}{2}，0）$，B（2，0）两点，
由题意，得$\left\{\begin{array}{l}{-\frac{1}{4}-\frac{1}{2}a+b=0}\\{-4+2a+b=0}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{a=\frac{3}{2}}\\{b=1}\end{array}\right.$，
∴抛物线的解析式为：y=-x²+$\frac{3}{2}$x+1，
∴C（0，1），
∴AC²=AO²+CO²=$\frac{5}{4}$，
CB²=BO²+CO²=5，
AB²=$\frac{25}{4}$，
∴AC²+CB²=AB²，
∴△ACB是直角三角形；

（2）存在，点P（$\frac{5}{2}$，-$\frac{3}{2}$）或（-$\frac{5}{2}$，-9）；
若以A、C、B、P四点为顶点的直角梯形以BC、AP为底；
∵B（2，0），C（0，1），
∴直线BC的解析式为：y=-$\frac{1}{2}$x+1；
设过点A且平行于BC的直线的解析式为y=-$\frac{1}{2}$x+h，
将点A（-$\frac{1}{2}$，0）代入得：（-$\frac{1}{2}$）×（-$\frac{1}{2}$）+h=0，h=-$\frac{1}{4}$；
∴y=-$\frac{1}{2}$x-$\frac{1}{4}$；
联立抛物线的解析式有：
$\left\{\begin{array}{l}{y=-\frac{1}{2}x-\frac{1}{4}}\\{y=-{x}^{2}+\frac{3}{2}x+1}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{x=-\frac{1}{2}}\\{y=0}\end{array}\right.$，$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{5}{2}}\\{y=-\frac{3}{2}}\end{array}\right.$．
∴点P（$\frac{5}{2}$，-$\frac{3}{2}$），
若以A、C、B、P四点为顶点的直角梯形以AC、BP为底，
同理可求得P（-$\frac{5}{2}$，-9）；
故当P（$\frac{5}{2}$，-$\frac{3}{2}$）或（-$\frac{5}{2}$，-9）时，以A、C、B、P四点为顶点的四边形是直角梯形．

点评 本题是一道二次函数的综合试题，考查了待定系数法求抛物线的解析式，相似三角形的判定与性质，二次函数与不等式的关系，直角梯形的运用，涉及的知识点较多，难度较大．