Question

3．如图，点A，B在反比例函数y=$\frac{k}{x}$（k＞0）的图象上，AC⊥x轴，BD⊥x轴，垂足C，D分别在x轴的正、负半轴上，CD=k，已知AB=2AC，E是AB的中点，且△BCE的面积是△ADE的面积的2倍，则k的值是$\frac{3\sqrt{7}}{2}$．

Answer 1

分析 过点B作直线AC的垂线交直线AC于点F，由△BCE的面积是△ADE的面积的2倍以及E是AB的中点即可得出S_△ABC=2S_△ABD，结合CD=k即可得出点A、B的坐标，再根据AB=2AC、AF=AC+BD即可求出AB、AF的长度，根据勾股定理即可算出k的值，此题得解．

解答 解：过点B作直线AC的垂线交直线AC于点F，如图所示．
∵△BCE的面积是△ADE的面积的2倍，E是AB的中点，
∴S_△ABC=2S_△BCE，S_△ABD=2S_△ADE，
∴S_△ABC=2S_△ABD，且△ABC和△ABD的高均为BF，
∴AC=2BD，
∴OD=2OC．
∵CD=k，
∴点A的坐标为（$\frac{k}{3}$，3），点B的坐标为（-$\frac{2k}{3}$，-$\frac{3}{2}$），
∴AC=3，BD=$\frac{3}{2}$，
∴AB=2AC=6，AF=AC+BD=$\frac{9}{2}$，
∴CD=k=$\sqrt{A{B}^{2}-A{F}^{2}}$=$\sqrt{{6}^{2}-（\frac{9}{2}）^{2}}$=$\frac{3\sqrt{7}}{2}$．
故答案为：$\frac{3\sqrt{7}}{2}$．

点评 本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征、三角形的面积公式以及勾股定理，构造直角三角形利用勾股定理巧妙得出k值是解题的关键．