Question

已知∠AOB=90°，∠COD=30°．
（1）如图1，当点O、A、C在同一条直线上时，∠BOD的度数是

 

；
如图2，若OB恰好平分∠COD，则∠AOC的度数是

 

；


（2）当∠COD从图1的位置开始，绕点O逆时针方向旋转180°，作射线OM平分∠AOC，射线ON平分∠BOD，在旋转过程中，发现∠MON的度数保持不变．
①∠MON的度数是

 

；
②请选择下列图3、图4、图5、图6四种情况中的两种予以证明．

Answer 1

考点：角的计算,角平分线的定义

专题：

分析：（1）根据角的计算法则即可求出∠BOD的度数，根据角的平分线定义可得∠BOC=

1

2

∠COD，根据角的计算可求出∠AOC的度数．
（2）∠MOC=

1

2

∠AOC，∠BON=

1

2

∠BOD，再根据角的计算进行转换即可求出∠MON的度数．

解答：解：（1）∵点O、A、C在同一条直线上
∴∠BOD=∠AOB-∠COD=90°-30°=60°
∵OB平分∠COD
∴∠COB=

1

2

∠COD=

1

2

×30°=15°
∴∠AOC=∠AOB-∠COB=90°-15°=75°

（2）①∠MON=60°
②图4证明：∵OM平分∠AOC，ON平分∠BOD
∴∠MOC=

1

2

∠AOC，∠BON=

1

2

∠BOD
∵∠AOD=∠AOB+∠COD-∠BOC
=∠AOC+∠BOC+∠BOD
∴∠AOC+∠BOD+2∠BOC=∠AOB+∠COD
=90°+30°=120°
∴∠MON=∠MOC+∠COB+∠BON
=

1

2

∠AOC+∠BOC+

1

2

∠BOD=

1

2

×120°
=60°
图5证明：∵OM平分∠AOC，ON平分∠BOD
∴∠MOC=

1

2

∠AOC，∠BON=

1

2

∠BOD
∵∠AOD=∠AOB+∠COD+∠BOC
=∠AOC+∠BOD-∠BOC
∴∠AOC+∠BOD-2∠BOC=∠AOB+∠COD
=90°+30°=120°
∴∠MON=∠MOC+∠CON
=∠MOC+∠BON-∠BOC
=

1

2

∠AOC+

1

2

∠BOD-∠BOC
=

1

2

×120°
=60°．

点评：本题考查了角平分线定义和角的计算，关键是求出∠AOC，∠BOD和∠BOC的关系，然后计算即可．