Question

14．已知：四边形ABCD是正方形，E是AB边上一点，连接DE，过点D作DF⊥DE交BC的延长线于点F，连接EF．

（1）如图1，求证：DE=DF；
（2）若点D关于直线EF的对称点为H，连接CH，过点H作PH⊥CH交直线AB于点P．
①在图2中依题意补全图形；
②求证：E为AP的中点；
（3）如图3，连接AC交EF于点M，求$\frac{2AM}{AB+AE}$的值．

Answer 1

分析 （1）根据正方形的性质和DF⊥DE，证明△DAE≌△DCF，得到DE=DF．
（2）①根据题意补全图形；
②连接HE，HF，由点H与点D关于直线EF对称，所以EH=ED，FH=FD．因为DE=DF，所以EH=FH=ED=FD．即四边形DEHF是菱形．由∠EDF=90°，得到四边形DEHF是正方形，利用正方形的性质证明△HPE≌△HCF，得到PE=CF，所以AE=PE，得到点E是AP的中点． 
（3）过点F作GF⊥CF交AC的延长线于点G，利用正方形的性质证明△AEM≌△GFM，得到AM=GM，所以AG=2AM，利用勾股定理在Rt△ABC中，得到$AC=\sqrt{2}$AB，同理，在Rt△CFG中，$CG=\sqrt{2}CF$，所以$AG=AC+CG=\sqrt{2}AB+\sqrt{2}CF=\sqrt{2}（AB+CF）=\sqrt{2}（AB+AE）$，所以$2AM=\sqrt{2}（AB+AE）$，即可解答．

解答 解：（1）∵四边形ABCD是正方形，
∴DA=DC，∠DAE=∠ADC=∠DCB=90°．
∴∠DCF=180°-90°=90°．
∴∠DAE=∠DCF．
∵DF⊥DE，
∴∠EDF=90°．
∵∠ADE+∠CDE=90°，∠CDE+∠CDF=90°，
∴∠ADE=∠CDF．
在△DAE和△DCF中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠DAE=∠DCF}\\{DA=DC}\\{∠ADE=∠CDF}\end{array}\right.$
∴△DAE≌△DCF．
∴DE=DF． 
（2）①所画图形如图2所示．

②连接HE，HF，如图3．

∵点H与点D关于直线EF对称，
∴EH=ED，FH=FD．
∵DE=DF，
∴EH=FH=ED=FD．
∴四边形DEHF是菱形．
∵∠EDF=90°，
∴四边形DEHF是正方形． 
∴∠DEH=∠EHF=∠HFD=90°．
∴∠AED+∠PEH=90°，∠HFC+∠DFC=90°．
∵△DAE≌△DCF，
∴∠AED=∠DFC，AE=CF．
∴∠PEH=∠HFC．
∵PH⊥CH，
∴∠PHC=90°．
∵∠PHE+∠EHC=90°，∠EHC+∠FHC=90°，
∴∠PHE=∠FHC．
在△HPE和△HCF中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠PEH=∠HFC}\\{EH=FH}\\{∠PHE=∠FHC}\end{array}\right.$，
∴△HPE≌△HCF．
∴PE=CF．
∴AE=PE．
∴点E是AP的中点． 
（3）过点F作GF⊥CF交AC的延长线于点G，如图4．

则∠GFC=90°．
∵正方形ABCD中，∠B=90°，
∴∠GFC=∠B．
∴AB∥GF．
∴∠BAC=∠G．
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=BC，
∴∠BAC=∠BCA=$\frac{1}{2}×$90°=45°．
∴∠BAC=∠BCA=∠FCG=∠G=45°．
∴FC=FG．
∵△DAE≌△DCF，
∴AE=CF．
∴AE=FG．
在△AEM和△GFM中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠AME=∠GMF}\\{∠BAC=∠G}\\{AE=GF}\end{array}\right.$，
∴△AEM≌△GFM．
∴AM=GM．
∴AG=2AM，
在Rt△ABC中，$AC=\sqrt{A{B^2}+B{C^2}}=\sqrt{2A{B^2}}=\sqrt{2}AB$．
同理，在Rt△CFG中，$CG=\sqrt{2}CF$．
∴$AG=AC+CG=\sqrt{2}AB+\sqrt{2}CF=\sqrt{2}（AB+CF）=\sqrt{2}（AB+AE）$．
∴$2AM=\sqrt{2}（AB+AE）$．
∴$\frac{2AM}{AB+AE}=\sqrt{2}$．

点评 本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定定理和性质定理，勾股定理的应用，对称的性质，解决本题的关键是利用正方形的性质得到相等的边和相等的角，证明三角形全等，作出辅助线也是解决本题的关键．