Question

已知，在等腰△ABC中，AB=AC，∠BAC=a°，点K在△ABC内，且∠AKB=90°，将△ABK绕点A逆时针旋转a°，得△ACK′，作直线KK′交BC于点D，试探索CD与BD关系．

Answer 1

考点：圆的综合题,四点共圆,三角形内角和定理,三角形的外角性质,等腰三角形的性质,旋转的性质

专题：探究型

分析：连接AD，由旋转的性质可得AK=AK′，∠KAK′=a°，根据三角形内角和定理可求出∠AKK′，根据平角的定义可求出∠BKD；设∠BAK=b°，可求出∠BKD，然后根据三角形外角的性质可证到∠KDC=∠BAK，从而得到A、B、D、K四点共圆，根据圆周角定理就可得到∠ADB=∠AKB=90°，即AD⊥BC，再根据等腰三角形的性质就可得到CD与BD关系．

解答：解：连接AD，如图所示．
∵将△ABK绕点A逆时针旋转a°得到△ACK′，
∴AK=AK′，∠KAK′=a°，
∠AKK′=∠AK′K=

180°-a°

2

=90°-

a°

2

．
∵∠AKB=90°，
∴∠BKD=180°-90°-（90°-

a°

2

）=

a°

2

．
设∠BAK=b°，
∵∠AKB=90°，
∴∠ABK=90°-b°．
∵AB=AC，∠BAC=a°，
∴∠ABC=∠ACB=

180°-a°

2

=90°-

a°

2

，
∴∠KBC=∠ABC-∠ABK=（90°-

a°

2

）-（90°-b°）=b°-

a°

2

．
∴∠KDC=∠BKD+∠KBC=

a°

2

+b°-

a°

2

=b°，
∴∠KDC=∠BAK，
∴A、B、D、K四点共圆，
∴∠ADB=∠AKB=90°，即AD⊥BC．
∵AB=AC，
∴BD=CD．

点评：本题考查了旋转的性质、四点共圆的判定、圆周角定理、等腰三角形的性质、三角形内角和定理、三角形的外角性质等知识，有一定的综合性，而证明A、B、D、K四点共圆则是解决本题的关键．