Question

如图，AB∥CD，AB=AC，BF∥AE，点P是直线BF上一点，点Q是直线CD上一点，∠PAQ=∠EAB．求证：AP=AQ．

Answer 1

考点：全等三角形的判定与性质

专题：证明题

分析：在CD上取一点M，使得AM=AC，由已知角相等，利用等式的性质得到∠EAP=∠BAQ，由AB与CD平行得到一对同位角相等，由AE与BF平行得到一对内错角相等，等量代换得到∠AQC=∠APB，利用等角的补角相等得到∠ABP=∠AMQ，再由AB=AC，等量代换得到AM=AP，利用AAS得到三角形ABP与三角形AMQ全等，利用全等三角形对应边相等即可得证．

解答：证明：在CD上取一点M，使得AM=AC，
∵∠EAB=∠PAQ，
∴∠EAP+∠PAB=∠PAB+∠BAQ，
∴∠EAP=∠BAQ，
∵AB∥CD，AE∥BF，
∴∠BAQ=∠AQC，∠EAP=∠APB，
∴∠AQC=∠APB，
∵∠ABP+∠EAB=180°，∠EAB=∠C，
∵AC=AM，AB=AC，
∴∠C=∠AMC，AM=AB，
∴∠EAB=∠AMC，
∵∠AMC+∠AMQ=180°，
∴∠ABP=∠AMQ，
在△AMQ和△ABP中，

∠AQC=∠APB ∠ABP=∠AMQ AM=AB

，
∴△AMQ≌△ABP（AAS），
∴QA=PA．

点评：此题考查了全等三角形的判定与性质，平行线的性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解本题的关键．