Question

已知关于x的二次方程（a-1）x²-（a²-3）x+a²+a=0的两个根都是整数，则整数a的值为

 

．

Answer 1

考点：根的判别式

专题：计算题

分析：设方程两根为m，n，根据根与系数的关系得到m+n=

a2-3

a-1

=a+1-

2

a-1

，mn=

a2+a

a-1

=a+2+

2

a-1

，由于m、n、a都为整数，利用整数的整除性得a-1=±1，±2，解得a=-1，0，2，3，然后把a的分别代入原方程，利用判别式的意义确定满足条件的a的值．

解答：解：设方程两根为m，n，
a-1≠0，解a≠1，
m+n=

a2-3

a-1

=a+1-

2

a-1

，
mn=

a2+a

a-1

=a+2+

2

a-1

，
∵m、n、a都为整数，
∴a-1=±1，±2，
∴a=-1，0，2，3，
当a=-1时，原方程变形为-2x²+2x=0，△＞0，方程有两个实数解；
当a=0时，原方程变形为-x²+3x=0，△＞0，方程有两个实数解；
当a=2时，原方程变形为x²-x+6=0，△＜0，方程没有实数解；
当a=3时，原方程变形为x²-3x+6=0，△＜0，方程没有实数解，
∴整数a的值为-1，0．
故答案为-1，0．

点评：本题考查了一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）的根的判别式△=b²-4ac：当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△=0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根．也考查了一元二次方程的定义和根与系数的关系．