Question

如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，BC=6，AB=10，以BC为直径的⊙O交AB于D，AC、DO的延长线交于E，点M为线段AC上一点，且CM=4．
（1）求证：直线DM是圆O的切线．
（2）求tan∠E的值．

Answer 1

考点：切线的判定

专题：证明题

分析：（1）连结CD，如图，先利用勾股定理计算出AC=8，则CM=AM=4，再根据圆周角定理得到∠BDC=90°，则可判断DM为Rt△ADC斜边上的中线，所以DM=CM=4，根据等腰三角形的性质得∠1=∠2，加上∠3=∠4，则∠1+∠3=∠2+∠4=90°，即∠ODM=90°，然后根据切线得判定定理即可得到直线DM是圆O的切线；
（2）先证明Rt△EOD∽Rt△EMD，利用相似比可得到OE=

4

3

EC-3，再在Rt△EOC中利用勾股定理得到3²+EC²=（

4

3

EC-3）²，解得EC=

9

2

，然后利用正切的定义求解．

解答：（1）证明：连结CD，如图，
∵∠ACB=90°，BC=6，AB=10，
∴AC=

AB2-BC2

=8，
∵CM=4，
∴CM=AM=4，
∵BC为直径，
∴∠BDC=90°，
∴DM为Rt△ADC斜边上的中线，
∴DM=CM=4，
∴∠1=∠2，
∵OD=OC，
∴∠3=∠4，
∴∠1+∠3=∠2+∠4，即∠OCM=∠ODM，
而∠OCM=90°，
∴∠ODM=90°，
∴OD⊥DM，
∴直线DM是圆O的切线；
（2）解：∵∠OEC=∠MED，
∴Rt△EOD∽Rt△EMD，
∴

EC

ED

=

OC

DM

，即

EC

3+OE

=

3

4

，
∴OE=

4

3

EC-3，
在Rt△EOC中，∵OC²+EC²=OE²，
∴3²+EC²=（

4

3

EC-3）²，
解得EC=

9

2

，
∴tanE=

OC

EC

=

3

9 2

=

2

3

．

点评：本题考查了切线的判定定理：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线．要证某线是圆的切线，已知此线过圆上某点，连接圆心与这点（即为半径），再证垂直即可．也考查了勾股定理和相似三角形的判定与性质．