Question

11．如图Rt△ABC的外接圆⊙O，∠ACB=90°，∠ACB的平分线交⊙O于D．
（1）AC=6cm，BC=8cm，求⊙O的半径R和AD、BD的长．
（2）若点C在⊙O移动（但不与A、B重合），试探究$\frac{AC+BC}{CD}$的值是否发生变化？若不变，求其值．若变化，说明理由．（若I为△ABC内心，IG⊥AB，试求$\frac{AB+2IG}{CD}$．

Answer 1

分析 （1）先根据勾股定理求出斜边AB=10，由90°的圆周角所对的弦是直径得：AB是⊙O的直径，所以可求得半径的长，再利用角平分线得圆周角相等：∠ACD=∠BCD，则△ADB是等腰直角三角形，由此可求得AD和BD的长；
（2）如图1，作辅助线，构建全等三角形，先证明△ACE和△BCF是等腰直角三角形，则AC=$\sqrt{2}$AE=$\sqrt{2}$EC，BC=$\sqrt{2}$BF=$\sqrt{2}$FC，再证明△AED≌△DFB，得DE=BF，代入所求的式子$\frac{AC+BC}{CD}$计算即可；
如图2，先根据直角三角形内切圆的半径公式得：IG=$\frac{AC+BC-AB}{2}$，变形后再把图1的结论代入可求得结论．

解答 解：（1）∵∠ACB=90°，
∴AB是⊙O的直径，
由勾股定理得：AB=$\sqrt{A{C}^{2}+B{C}^{2}}$=$\sqrt{{6}^{2}+{8}^{2}}$=10，
∴⊙O的半径R为5cm，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB=90°，
∵CD平分∠ACB，
∴∠ACD=∠BCD，
∴AD=BD，
设AD=xcm，
由勾股定理得：AB²=AD²+BD²，
则2x²=10²，
x=±5$\sqrt{2}$，
∴AD=BD=5$\sqrt{2}$cm；
（2）如图1，过A作AE⊥CD于E，过B作BF⊥CD于F，
∵∠ACD=∠BCD=45°，
∴△ACE和△BCF是等腰直角三角形，
∴AC=$\sqrt{2}$AE=$\sqrt{2}$EC，
BC=$\sqrt{2}$BF=$\sqrt{2}$FC，
∵∠ADB=90°，
∴∠ADC+∠BDC=90°，
∵∠AED=90°，
∴∠ADC+∠EAD=90°，
∴∠BDC=∠EAD，
∵AD=BD，∠AED=∠BFD=90°，
∴△AED≌△DFB，
∴DE=BF，
∴AE=EC=DF，
∴AC=$\sqrt{2}$CE，BC=$\sqrt{2}$DE，
∴$\frac{AC+BC}{CD}$=$\frac{\sqrt{2}CE+\sqrt{2}DE}{CD}$=$\sqrt{2}$；
∴当点C在⊙O移动（但不与A、B重合），$\frac{AC+BC}{CD}$的值不发生变化，等于$\sqrt{2}$；
如图2，I为△ABC内心，IG⊥AB，
∴IG是△ABC内切圆的半径，
则IG=$\frac{AC+BC-AB}{2}$，
AB+2IG=AC+BC，
由图1得：AC+BC=$\sqrt{2}$CD，
∴$\frac{AB+2IG}{CD}$=$\frac{AC+BC}{CD}$=$\frac{\sqrt{2}CD}{CD}$=$\sqrt{2}$．

点评 本题考查了直角三角形的外接圆和内切圆的性质，明确：①90°的圆周角所对的弦是直径，②在同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弦相等，③直角三角形内切圆的半径r=$\frac{a+b-c}{2}$（a、b分别是直角三角形的两条直角边，c是斜边）；同时构建全等三角形，利用全等三角形的对应边相等及等腰直角三角形边的倍数关系代入所求的线段的比中，得出结论．