Question

2．如图，已知AB为⊙O的弦长，且AB：AO=$\sqrt{3}$，点C为$\widehat{AB}$的中点，试猜想四边形AOBC的形状，并说明理由．

Answer 1

分析 先判断△OAC为等边三角形得到AC=OA，再利用圆心角、弧、弦的关系，△OBC为等边三角形，则BC=OB，所以OB=BC=CA=OA，于是可判断四边形OABC为菱形．

解答 解：四边形AOBC为菱形．理由如下：
连接OC交AB于D，
∵点C为$\widehat{AB}$的中点，
∴OD⊥AB，
∴AD=$\frac{1}{2}$AB，
∵AB：AO=$\sqrt{3}$，
∴$\frac{AD}{AO}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∴∠AOD=60°，
∵OA=OC=OA，
∴△OAC为等边三角形，
∴AC=OA，
∴∠BOC=∠AOC=60°，
同理可得△OBC为等边三角形，
∴BC=OB，
即OB=BC=CA=OA，
∴四边形OABC为菱形．

点评 本题考查了圆心角、弧、弦的关系：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等．也考查了等边三角形的判定与性质和菱形的判定方法．