Question

4．等腰Rt△ABC中，BA=BC，∠ABC=90°，将△ABD绕点B顺时针旋转90°后，得到△CBE．若AB=6，CD=2AD，求DE的长．

Answer 1

分析 首先由等腰直角三角形的性质求得∠BAD、∠BCD的度数，然后由旋转的性质可求得∠BCE的度数，故此可求得∠DCE的度数，即△DCE是直角三角形，先由勾股定理求得AC的长，然后依据比例关系可得到CE和DC的长，最后依据勾股定理求解即可．

解答 解：∵△ABC为等腰直角三角形，
∴∠BAD=∠BCD=45°．
由旋转的性质可知∠BAD=∠BCE=45°．
∴∠DCE=∠BCE+∠BCA=45°+45°=90°．
∵BA=BC=6，∠ABC=90°，
∴AC=$\sqrt{A{B}^{2}+B{C}^{2}}$=6$\sqrt{2}$．
∵CD=2AD，
∴AD=2$\sqrt{2}$，DC=4$\sqrt{2}$．
由旋转的性质可知：AD=EC=2$\sqrt{2}$．
∴DE=$\sqrt{D{C}^{2}+E{C}^{2}}$=2$\sqrt{10}$．

点评 本题主要考查的是旋转的性质、勾股定理的应用、等腰直角三角形的性质，求得∠DCE=90°是解题的关键．