Question

如图，在梯形ABCD中，BC∥AD，∠A+∠D=90°，tanA=2，过点B作BH⊥AD于H，BC=BH=2，动点F从点D出发，以每秒1个单位的速度沿DH运动到点H停止，在运动过程中，过点F作EF⊥AD交折线D    C    B于点E，将纸片沿直线EF折叠，点C、D的对应点分别是点C₁、D₁，设运动时间是x秒（x＞0）．
（1）当点E和点C重合时，求运动时间x的值；
（2）当x为何值时，△BCD₁是等腰三角形；
（3）在整个运动过程中，设△FED₁或四边形EFD₁C₁与梯形ABCD重叠部分的面积为S，求S与x的函数关系式．

Answer 1

分析：（1）过C作GC∥AB交AD于G，通过勾股定理就可以求出AH=1，AB=

5

，再得出四边形ABCG是平行四边求出DH，过C作CM⊥AD交AD于M，求出DM的值即可；
（2）分三种情况讨论，如图1，当BC=CD₁=2时可以求出x的值，如图2，当BD₁=CD₁时，作D₁G⊥BC于G，可以求出x的值，如图3，当BC=BD₁时，可以求出x的值，从而综合得出结论；
（3）分四种情况讨论，如图4，当0＜x≤3.5时，如图5，3.5＜x≤4时，作GM⊥AD于M，如图6，当4＜x≤5时，作GM⊥AD于M，如图7，当5＜x≤6时，可以分别求出S与x之间的环数关系式．

解答：解：（1）过C作GC∥AB交AD于G，
∴∠CGD=∠A，
∵∠A+∠D=90°，
∴∠CGD+∠D=90°，
∴∠DCG=90°．
在Rt△AHB中，tanA=2，BH=2，
∴AH=1，AB=

5

，
∵BC∥AD，CG∥AB，
∴四边形ABCG是平行四边形，
∴AG=BC=2，CG=AB=

5

，
∴CD=2

5

，GD=5，
∴DH=6．
过C作CM⊥AD交AD于M，
∴DM=4，当点E和点C重合时x=4．

（2）如图1，当BC=CD₁=2时，DD₁=4，
∴DF=2，
∴x=2；
如图2，当BD₁=CD₁时，作D₁G⊥BC于G，
∴CG=

1

2

BC=1，
∴D₁D=5，
∴DF=2.5，
∴x=2.5；
如图3，当BC=BD₁时，DD₁=6，
∴DF=3，
∴x=3；
∴x=2，2.5，3时，△BCD₁是等腰三角形；

（3）如图4，当0＜x≤3.5时，
S=

1

2

D₁F•EF=

1

2

x•

1

2

x=

1

4

x²；
如图5，3.5＜x≤4时，作GM⊥AD于M，
S=

1

2

D₁F•EF-

1

2

D₁A•GM．
D₁A=2x-7
设GM=a，则AM=

1

2

a，
∵

GM

D1M

=

1

2

，
∴

a

2x-7+ 1 2 a

=

1

2

，
∴a=

4x-14

3

，
即GM=

4x-14

3

．
∴S=

1

4

x²-

1

2

（2x-7）×

4x-14

3

；
=-

13

12

x²+

28

3

x-

49

3

；
如图6，当4＜x≤5时，作GM⊥AD于M，
S=

1

2

（C₁E+D₁F）×2-

1

2

D₁A•GM
=

1

2

（x-4+x）×2-

1

2

（2x-7）×

4x-14

3

=-

4

3

x²+

34

3

x-

61

3

；
如图7，当5＜x≤6时，
S=

1

2

（BE+AF）•EF
=

1

2

（6-x+7-x）×2
=13-2x．

点评：本题考查了平行四边形的性质的运用，轴对称的性质的运用，三角形的面积公式的运用，梯形的面积公式的运用，分段函数的解法的运用，三角函数值的运用，勾股定理的运用，解答时寻找分段函数的分段点是难点，解答时考虑不同情况的S的值如何的表示是关键．