题目内容

如图，在平面直角坐标系中，抛物线的顶点A的坐标为（3,15），且过点（－2，10），对称轴AB交轴于点B，点E是线段AB上一动点，以EB为边在对称轴右侧作矩形EBCD，使得点D恰好落在抛物线上，点D′是点D关于直线EC的轴对称点.

（1）求抛物线的解析式；

（2）若点D′恰好落在轴上的点（0，6）时，求此时D点的坐标；

（3）直线CD′交对称轴AB于点F,

①当点D′在对称轴AB的左侧时，且△ED′F∽△CDE，求出DE:DC的值；

②连结B D′，是否存在点E，使△E D′B为等腰三角形？若存在，请直接写出BE:BC的值，若不存在请说明理由.

 

【答案】

（1）;（2）(8,10); （3）①;②.

【解析】

试题分析：（1）由已知,应用待定系数法设顶点式求解;

（2）根据勾股定理和轴对称的性质列方程组求解;

（3）①由勾股定理和相似三角形的性质列式求解;

②由①可知△ED′F≌△CBF时, D′F=BF,从而得出结论.

试题解析：（1）∵抛物线的顶点A的坐标为（3,15），

∴可设抛物线的解析式为.

∵抛物线过点（－2，10）, ∴.解得.

∴抛物线的解析式为,即.

（2）设D(x,ｙ),则E(3, ｙ), DE=x-3, DC=ｙ.

由D′（0，6）,根据勾股定理,得: D′C=, D′E=,

根据轴对称的性质,有D′C=DC, D′E= DE,即,解得.

∴此时D点的坐标为(8,10).

（3）①易证△ED′F≌△CBF,则D′F=BF.

设D′C=DC=a,D′E=DE=b,D′F=BF=c,

在Rt△CBF中,由勾股定理,得:CF2=BF2+D′C2,即(D′C- D′F)2=BF2+D′C2.

∴,整理,得.

∵△ED′F∽△CDE，∴,即,即,即,即.

∴DE:DC=.

②存在,由①可知BE:BC=.

考点：1.动点问题;2.二次函数的性质;3. 勾股定理;4. 轴对称的性质;5.全等和相似三角形的判定和性质.

 

练习册系列答案
相关题目
精英家教网如图，在平面直角坐标中，四边形OABC是等腰梯形，CB∥OA，OA=7，AB=4，∠COA=60°，点P为x轴上的一个动点，但是点P不与点0、点A重合．连接CP，D点是线段AB上一点，连接PD．
（1）求点B的坐标；
（2）当∠CPD=∠OAB，且
BD
AB
=
5
8
，求这时点P的坐标．
（2012•渝北区一模）如图，在平面直角坐标xoy中，以坐标原点O为圆心，3为半径画圆，从此圆内（包括边界）的所有整数点（横、纵坐标均为整数）中任意选取一个点，其横、纵坐标之和为0的概率是
5
29
5
29
．
如图，在平面直角坐标中，等腰梯形ABCD的下底在x轴上，且B点坐标为（4，0），D点坐标为（0，3），则AC长为
5
5
．
如图，在平面直角坐标xOy中，已知点A（-5，0），P是反比例函数y=
k
x
图象上一点，PA=OA，S△PAO=10，则反比例函数y=
k
x
的解析式为（　　）
如图，在平面直角坐标中，四边形OABC是等腰梯形，CB∥OA，OC=AB=4，BC=6，∠COA=45°，动点P从点O出发，在梯形OABC的边上运动，路径为O→A→B→C，到达点C时停止．作直线CP．
（1）求梯形OABC的面积；
（2）当直线CP把梯形OABC的面积分成相等的两部分时，求直线CP的解析式；
（3）当△OCP是等腰三角形时，请写出点P的坐标（不要求过程，只需写出结果）．

违法和不良信息举报电话：027-86699610 举报邮箱：58377363@163.com

精英家教网