Question

16．如图，AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，点E在线段OA上运动，DE⊥AB，垂足为E，DE交AC于点G，DC是⊙O的切线，交AB的延长线于点F．
（1）求证：∠D=2∠A；
（2）如图（2），若点E是OA的中点，点H是DE与⊙O的交点，OH∥BC，求证：△DCG是等边三角形；
（3）如图（1），若CD=2CF，且BF=1，CF=2，求CG的长．

Answer 1

分析 （1）如图1中，连接OC，只要证明∠D=∠FOC，∠FOC=2∠A即可；
（2）如图2中，连接AH，即△AOH是等边三角形，再证明DG=DC，∠DCG=60°即可解决问题；
（3）由△FCB∽△FAC，推出CF：AF=BF：CF=CB：CA，由BF=1，CF=2，∴AF=4，推出AB=AF-BF=3，推出OB=OC=1.5，在Rt△ABC中，由CB：CA=CF：AF=1：2，AB=3，可得BC=$\frac{3\sqrt{5}}{5}$，由△DCG∽△OCB，可得$\frac{CG}{BC}=\frac{DC}{OC}$，由此求出CG即可；

解答 （1）证明：如图1中，连接OC，

∵DC是⊙O的切线，
∴DC⊥OC，
∴∠OCF=90°，
∴∠COF+∠F=90°，
∴DE⊥AB，
∴∠D+∠F=90°，
∴∠D=∠COF，
∵∠COF=2∠A，
∴∠D=2∠A；

（2）证明：如图2中，连接AH，OC．

∵DE⊥AB，点E是OA的中点，
∴AH=OH，
∵OA=OH，
∴OA=OH=AH，
即△AOH是等边三角形，
∴∠AOH=60°，
∵OH∥BC，
∴∠ABC=∠AOH，
∵∠DCG=∠ABC，
∴∠DCG=∠AOH=60°，
∵OA=OC，
∴∠OAC=∠OCA，∠OAC+∠AGE=90°，∠OCA+∠DCG=90°，
∴∠AGE=∠DCG，
∵∠DGC=∠AGE，
∴∠DGC=∠DCG，
∴DG=DC，
∴△DCG是等边三角形；

（3）解：如图3中，

∵∠OCB+∠BCF=90°，∠OBC+∠A=90°
又∵OB=OC，
∴∠OCB=∠OBC，
∴∠A=∠BCF
∵∠F=∠F，
∴△FCB∽△FAC，
∴CF：AF=BF：CF=CB：CA，
∵BF=1，CF=2，
∴AF=4，
∴AB=AF-BF=3，
∴OB=OC=1.5，
在Rt△ABC中，∵CB：CA=CF：AF=1：2，AB=3，
∴BC=$\frac{3\sqrt{5}}{5}$，
∵∠D=∠BOC，∠DCG=∠OCB，
∴△DCG∽△OCB，
∴$\frac{CG}{BC}=\frac{DC}{OC}$，
∵CD=2CF，∴CD=4，
∴CG=$\frac{\frac{3\sqrt{5}}{5}•4}{1.5}$=$\frac{8\sqrt{5}}{5}$．

点评 本题考查圆综合题、等边三角形的判定和性质、相似三角形的判定和性质、勾股定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造相似三角形解决问题，属于中考压轴题．