Question

10．某校的围墙上端由一段段相同的凹曲拱形栅栏组成．如图所示，其拱形为抛物线的一部分，栅栏由立柱和横杆用相同的钢筋切割而成，横杆AB间按相同的间距$\frac{1}{5}$米用5根立柱加固，OC的长为$\frac{3}{5}$米．
（1）建立适当的平面直角坐标系，求出抛物线的解析式；
（2）计算一段栅栏所需钢筋的总长度（精确到0.1米）；
（3）现为了安全考虑，栅栏需整体抬高，使OC的长为$\frac{16}{15}$米，立柱间距仍然为$\frac{1}{5}$米，试判断一根长为7米的钢筋能不能做成一段符合要求的新栅栏？请说明理由．

Answer 1

分析 （1）先根据题意求得A（-$\frac{3}{5}$，$\frac{3}{5}$），再设y=ax²，根据待定系数法，求得抛物线的解析式为y=$\frac{5}{3}$x²；
（2）根据（1）中的函数解析式，求得当x=-$\frac{2}{5}$，x=-$\frac{1}{5}$，x=0，x=$\frac{1}{5}$，x=$\frac{2}{5}$时，y=$\frac{4}{15}$，y=$\frac{1}{15}$，y=0，y=$\frac{1}{15}$，y=$\frac{4}{15}$，最后计算栅栏所需钢筋的总长度；
（3）先根据A（-$\frac{3}{5}$，$\frac{16}{15}$），运用待定系数法，求得抛物线的解析式为y=$\frac{80}{27}$x²，再求得当x=$\frac{2}{5}$，x=$\frac{1}{5}$时，y=$\frac{64}{135}$，y=$\frac{16}{135}$，进而计算栅栏所需钢筋的总长度．

解答 解：（1）以O点为原点，水平向右为x轴正方向，竖直向上为y轴正方向，建立直角坐标系，如图所示：

∵横杆AB间按相同的间距$\frac{1}{5}$米用5根立柱加固，OC的长为$\frac{3}{5}$米，
∴A（-$\frac{3}{5}$，$\frac{3}{5}$），
设y=ax²，则
$\frac{3}{5}$=a•（-$\frac{3}{5}$）²，
解得a=$\frac{5}{3}$，
∴抛物线的解析式为y=$\frac{5}{3}$x²；

（2）∵在y=$\frac{5}{3}$x²中，当x=-$\frac{2}{5}$，x=-$\frac{1}{5}$，x=0，x=$\frac{1}{5}$，x=$\frac{2}{5}$时，
y=$\frac{4}{15}$，y=$\frac{1}{15}$，y=0，y=$\frac{1}{15}$，y=$\frac{4}{15}$，
∴栅栏所需钢筋的总长度=5×$\frac{3}{5}$-2（$\frac{4}{15}$+$\frac{1}{15}$）+$\frac{3}{5}$×2≈3.5m；

（3）由题可得A（-$\frac{3}{5}$，$\frac{16}{15}$），
设y=a'x²，则
$\frac{16}{15}$=a'•（-$\frac{3}{5}$）²，
解得a'=$\frac{80}{27}$，
∴y=$\frac{80}{27}$x²，
∴当x=$\frac{2}{5}$，x=$\frac{1}{5}$时，y=$\frac{64}{135}$，y=$\frac{16}{135}$，
∴栅栏所需钢筋的总长度=5×$\frac{16}{15}$-2（$\frac{64}{135}$+$\frac{16}{135}$）+$\frac{3}{5}$×2=$\frac{722}{135}$＜7，
∴一根长为7米的钢筋能做成一段符合要求的新栅栏．

点评 本题主要考查了二次函数的综合应用，解决问题的关键是掌握待定系数法求二次函数解析式的方法．在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解．