Question

19．如图，在△ABC中，AD⊥BC于D，BD=AD，DG=DC，E，F分别是BG，AC的中点．
（1）求证：DE=DF，DE⊥DF；
（2）连接EF，若AC=10，求EF的长．

Answer 1

分析 （1）证明△BDG≌△ADC，根据全等三角形的性质、直角三角形的性质证明；
（2）根据直角三角形的性质分别求出DE、DF，根据勾股定理计算即可．

解答 （1）证明：∵AD⊥BC，
∴∠ADB=∠ADC=90°，
在△BDG和△ADC中，
$\left\{\begin{array}{l}{BD=AD}\\{∠BDG=∠ADC}\\{DG=DC}\end{array}\right.$，
∴△BDG≌△ADC，
∴BG=AC，∠BGD=∠C，
∵∠ADB=∠ADC=90°，E，F分别是BG，AC的中点，
∴DE=$\frac{1}{2}$BG=EG，DF=$\frac{1}{2}$AC=AF，
∴DE=DF，∠EDG=∠EGD，∠FDA=∠FAD，
∴∠EDG+∠FDA=90°，
∴DE⊥DF；
（2）解：∵AC=10，
∴DE=DF=5，
由勾股定理得，EF=$\sqrt{D{E}^{2}+D{F}^{2}}$=5$\sqrt{2}$．

点评 本题考查的是全等三角形的判定和性质、直角三角形的性质以及勾股定理的应用，掌握全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．