Question

5．如图，平面直角坐标系中，在四边形OABC中，BC∥OA，OC=AB，OA=7，AB=4，∠COA=60°，点P是x轴上一个动点，点P不与点O、A重合，连接CP，点D是边AB上一点，连接PD．
（1）求点B的坐标；
（2）若△OCP是等腰三角形，求此时点P的坐标；
（3）当点P在边OA上，∠CPD=∠OAB，且$\frac{BD}{AB}$=$\frac{5}{8}$时，求此时点P的坐标．

Answer 1

分析 （1）过B作BF⊥OA，判断出∠BAO=60°，进而求出AF=$\frac{1}{2}$AB=2，BF=$\sqrt{3}$AF=2$\sqrt{3}$即可得出点B坐标，
（2）分三种情况利用等边三角形的性质即可求出点P的坐标；
（3）先判断出∠OCP=∠APB，进而得出△OPC∽△ADP，即$\frac{OP}{AD}=\frac{OC}{AP}$，另为求出AD，最后用得出的比例式建立方程求出OP即可得出结论．

解答 （1）如图1，过B作BF⊥OA，
∵∠COA=60°，OC=AB，
∴∠BAO=60°，
∵AB=4，
∴AF=$\frac{1}{2}$AB=2，BF=$\sqrt{3}$AF=2$\sqrt{3}$，
∵AO=7，
∴OF=5，
∴$B（{5\;，\;\;2\sqrt{3}}）$，
（2）①当OC=OP=4时，
∴P（4，0），（-4，0）
②当OC=CP=4时，
∵∠COP=60°，
∴△OCP是等边三角形，
∴P（4，0），
③当CP=OP时，
∴∠OCP=∠COP=60°，
∴△COP是等边三角形，
∴∠P（4，0），
即：满足条件的点P的坐标为（4，0），（-4，0）；
（3）∵∠CPD=∠OAB=60°，
∴∠COA=∠CPD=∠OAB，
∵∠AOC+∠OCP=∠APD+∠DPC，
∴∠OCP=∠APD，
∴△OPC∽△ADP，
∴$\frac{OP}{AD}=\frac{OC}{AP}$，
∴OP•AP=AD•OC，
∵$\frac{BD}{AB}=\frac{5}{8}$，
∴$BD=\frac{5}{2}$$AD=\frac{3}{2}$，
∴$OP•AP=\frac{3}{2}×4=6$，
∴OP•（7-OP）=6，
∴OP²-7OP+6=0，
∴OP₁=1，OP₂=6，
∴P（1，0）P（6，0）．

点评 此题是相似形综合题，主要考查了等腰梯形的性质，含30°角的直角三角形的性质，等边三角形的性质，三角形外角的性质，解（1）的关键是求出AF和BF，解（2）的关键是分类讨论，解（3）的关键是判断出△OPC∽△ADP是一道中等难度的中考常考题．