Question

如图，AB为⊙O的直径，CD为弦，且CD⊥AB，垂足为H．
（1）如果⊙O的半径为4，∠BAC=30°，求CD的长；
（2）若点E为ADB弧的中点，连接OE、CE．求证：CE平分∠OCD；
（3）在（1）的条件下，圆周上到直线AC距离为3的点有多少个？并说明理由．

Answer 1

（1）解：∵AB⊥CD，
∴CD=2CH，∠CHA=90°，
∵OA=OC，∠BAC=30°，
∴∠ACO=∠BAC=30°，
∴∠COH=30°+30°=60°，
∴∠OCH=30°，
∴OH=OC=×4=2，
∴CH=OH=2，
∴CD=2CH=4．

（2）证明：∵AB为直径，
∴∠ACB=90°=∠CHB，
∴∠A+∠B=∠B+∠BCH=90°，
∴∠A=∠BCD=∠ACO，
∵E为弧ADB的中点，
∴∠ACE=∠BCE，
∴∠ACE-∠ACO=∠BCE-∠BCD，
∴∠OCE=∠DCE，
即CE平分∠OCD．

（3）解：在（1）的条件下，圆周上到直线AC距离为3的点有2个，
理由是：在BC上截取BM=1，过M作AC的平行线交圆于N、Q，则此时两点符合题意，除去这两点以外，再没有符合题意的点了，
即在（1）的条件下，圆周上到直线AC距离为3的点有2个．
分析：（1）根据垂径定理求出CD=2CH，求出OH，根据勾股定理求出CH即可．
（2）求出∠ACO=∠BCD，∠ACE=∠BCE，相减即可．
（3）根据BC=4和半径是4，即可得出答案．
点评：本题考查了圆周角定理，垂径定理，含30度角的直角三角形性质的应用，题目比较好，但是有一定的难度．