Question

1．在四边形ABCD中，对角线AC与BD交于点O，E是OC上任意一点，AG⊥BE于点G，交BD于点F．
（1）如图1，若四边形ABCD是正方形，判断AF与BE的数量关系，并说明理由；
（2）如图2，若四边形ABCD是菱形，∠ABC=120°，求$\frac{AF}{BE}$的值．

Answer 1

分析 （1）根据正方形的性质和全等三角形的性质即可得到结论；
（2）根据四边形ABCD是菱形和∠ABC=120°，推出AC⊥BD，∠ABO=60°，所以∠FAO+∠AFO=90°，根据AG⊥BE，得到∠EAG+∠BEA=90°，∠AFO=∠BEA，又因为∠AOF=∠BOE=90°，推出三角形相似，即可得到结论．

解答 解：（1）AF=BE，
理由如下：
∵ABCD是正方形，
∴AO=BO，AO⊥BO，
又∵AG⊥BE，
∴∠FBG+∠BFG=∠FAO+∠AFO=90°，
∠BFG=∠AFO，
∴∠FBG=∠FAO，
在Rt△AOF和Rt△BOE中
$\left\{\begin{array}{l}{∠AOF=∠BOE=90°}\\{∠FBG=∠FAO}\\{AO=BO}\end{array}\right.$，
∴Rt△AOF≌Rt△BOE（AAS），
∴AF=BE；


（2）结论：$\frac{AF}{BE}$=$\sqrt{3}$，
理由：∵四边形ABCD是菱形，∠ABC=120°，
∴AC⊥BD，∠ABO=60°，
∴∠FAO+∠AFO=90°，
∵AG⊥BE，
∴∠EAG+∠BEA=90°，
∴∠AFO=∠BEA，
又∵∠AOF=∠BOE=90°，
∴△AOF∽△BOE，
∴$\frac{AF}{BE}$=$\frac{AO}{OB}$，
∵∠ABO=60°，AC⊥BD，
∴$\frac{AO}{OB}$=tan60°=$\sqrt{3}$，
∴$\frac{AF}{BE}$=$\sqrt{3}$．

点评 本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，菱形的性质，相似三角形的判定和性质，熟记定理是解题的关键．