Question

14．在四边形中ABCD，点E为AB边上的一点，点F为对角线BD上的一点，且EF⊥AB．
（1）若四边形ABCD为正方形．
①如图1，请直接写出AE与DF的数量关系DF=$\sqrt{2}$AE；
②将△EBF绕点B逆时针旋转到图2所示的位置，连接AE，DF，猜想AE与DF的数量关系并说明理由；
（3）如图3，若四边形ABCD为矩形，BC=mAB，其它条件都不变，将△EBF绕点B顺时针旋转α（0°＜α＜90°）得到△E'BF'，连接AE'，DF'，请在图3中画出草图，并直接写出AE'与DF'的数量关系．

Answer 1

分析 （1）①利用正方形的性质得△ABD为等腰直角三角形，则BF=$\sqrt{2}$AB，再证明△BEF为等腰直角三角形得到BF=$\sqrt{2}$BE，所以BD-BF=$\sqrt{2}$AB-$\sqrt{2}$BE，从而得到DF=$\sqrt{2}$AE；
②利用旋转的性质得∠ABE=∠DBF，加上$\frac{BF}{BE}$=$\frac{BD}{AB}$=$\sqrt{2}$，则根据相似三角形的判定可得到△ABE∽△DBF，所以$\frac{DF}{AE}$=$\frac{BF}{BE}$=$\sqrt{2}$；
（2）先画出图形得到图3，利用勾股定理得到BD=$\sqrt{1+{m}^{2}}$AB，再证明△BEF∽△BAD得到$\frac{BE}{BA}$=$\frac{BF}{BD}$，则$\frac{BF}{BE}$=$\frac{BD}{BA}$=$\sqrt{1+{m}^{2}}$，接着利用旋转的性质得∠ABE′=∠DBF′，BE′=BE，BF′=BF，所以$\frac{BF′}{BE′}$=$\frac{BD}{BA}$=$\sqrt{1+{m}^{2}}$，然后根据相似三角形的判定方法得到△ABE′∽△DBF′，再利用相似的性质可得$\frac{DF′}{AE′}$=$\frac{BD}{BA}$=$\sqrt{1+{m}^{2}}$．

解答 解：（1）①∵四边形ABCD为正方形，
∴△ABD为等腰直角三角形，
∴BF=$\sqrt{2}$AB，
∵EF⊥AB，
∴△BEF为等腰直角三角形，
BF=$\sqrt{2}$BE，
∴BD-BF=$\sqrt{2}$AB-$\sqrt{2}$BE，
即DF=$\sqrt{2}$AE；
故答案为DF=$\sqrt{2}$AE；
②DF=$\sqrt{2}$AE．理由如下：
∵△EBF绕点B逆时针旋转到图2所示的位置，
∴∠ABE=∠DBF，
∵$\frac{BF}{BE}$=$\sqrt{2}$，$\frac{BD}{AB}$=$\sqrt{2}$，
∴$\frac{BF}{BE}$=$\frac{BD}{AB}$，
∴△ABE∽△DBF，
∴$\frac{DF}{AE}$=$\frac{BF}{BE}$=$\sqrt{2}$，
即DF=$\sqrt{2}$AE；
（2）如图3，∵四边形ABCD为矩形，
∴AD=BC=mAB，
∴BD=$\sqrt{A{B}^{2}+A{D}^{2}}$=$\sqrt{1+{m}^{2}}$AB，
∵EF⊥AB，
∴EF∥AD，
∴△BEF∽△BAD，
∴$\frac{BE}{BA}$=$\frac{BF}{BD}$，
∴$\frac{BF}{BE}$=$\frac{BD}{BA}$=$\sqrt{1+{m}^{2}}$，
∵△EBF绕点B顺时针旋转α（0°＜α＜90°）得到△E'BF'，
∴∠ABE′=∠DBF′，BE′=BE，BF′=BF，
∴$\frac{BF′}{BE′}$=$\frac{BD}{BA}$=$\sqrt{1+{m}^{2}}$，
∴△ABE′∽△DBF′，
∴$\frac{DF′}{AE′}$=$\frac{BD}{BA}$=$\sqrt{1+{m}^{2}}$，
即DF′=$\sqrt{1+{m}^{2}}$AE′．

点评 本题考查了相似形的综合题：熟练掌握旋转的性质、矩形和正方形的性质；灵活应用相似三角形的判定和性质，会利用相似比表示线段之间的关系．