Question

2．在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠B=90°，AB=BC=2AD，AD=2，若以CD为斜边作直角△CDE，且∠ECD的正切值为$\frac{1}{2}$，则AE=4．

Answer 1

分析 根据平行线的性质得到∠A=90°，过D作DF⊥BC于F，推出四边形ABFD是矩形，求得BF=AD=2，CF=2，根据三角函数的定义得到tan∠FDC=$\frac{CF}{DF}$=$\frac{1}{2}$，由于∠ECD的正切值为$\frac{1}{2}$，得到∠FDC=∠ECD，证得A，D，E三点共线，由四边形ABCE是矩形，即可得到结论．

解答 解：如图1，∵AD∥BC，∠B=90°，
∴∠A=90°，
∵AB=BC=2AD，AD=2，
∴AB=BC=4，
过D作DF⊥BC于F，
∴四边形ABFD是矩形，
∴BF=AD=2，
∴CF=2，
∴tan∠FDC=$\frac{CF}{DF}$=$\frac{1}{2}$，
∵∠ECD的正切值为$\frac{1}{2}$，
∴∠FDC=∠ECD，
∴∠EDC=∠CDF，
∴∠ADC+∠EDC=180°，
∴A，D，E三点共线，
∵∠E=90°，
∴四边形ABCE是矩形，
∴AE=BC=4．
如图2，∵∠A=∠B=∠DEC=90°，
∴四边形ABED是矩形，
∴BE=AD=2，DE=AB=4
∴CE=2，∴tan∠ECD=$\frac{DE}{CE}=2$，
∵∠ECD的正切值为$\frac{1}{2}$，
∴这种情况不存在，
综上所述：AE=4．
故答案为：4．

点评 本题考查了解直角三角形，矩形的判定和性质，梯形的性质，证明A，D，E三点共线是解题的关键．