Question

3．如图，抛物线y=-$\frac{2}{5}$x²+$\frac{12}{5}$x-2与x轴交于A、B，与y轴交于点C，点P为抛物线上一点，且∠PBO=∠CBO，求点P的坐标．

Answer 1

分析 利用抛物线与x轴的交点的关系解一元二次方程-$\frac{2}{5}$x²+$\frac{12}{5}$x-2=0，得抛物线与x轴的两个交点，在令x=0，求出其对应的函数值，从而求得点C的坐标，然后根据三角函数求出点P的坐标．

解答 解：令抛物线的函数值为0，则-$\frac{2}{5}$x²+$\frac{12}{5}$x-2=0，解这个二元一次方程得x₁=1，x₂=5
∴A（1，0），B（5，0）
又当x=0时，y=-$\frac{2}{5}$x²+$\frac{12}{5}$x-2=-2，
∴C（0，-2）
设P点的坐标为（x，-$\frac{2}{5}$x²+$\frac{12}{5}$x-2），
∵△OBC是直角三角形，∠BOC=90°，
∴tan∠OBC=$\frac{OC}{OB}$=$\frac{2}{5}$，
∵∠PBO=∠CBO，
∴tan∠PBO=$\frac{-\frac{2}{5}{x}^{2}+\frac{12}{5}x-2}{5-x}$=$\frac{2}{5}$，
化简得：x²-7x+10=0，
∴x₁=2，x₂=5（舍去）
∴y=$\frac{6}{5}$
∴点P的坐标为（2，$\frac{6}{5}$）．

点评 本题考查了抛物线与x轴的交点问题，解题的根据是根据抛物线与x轴的交点与其解析式的关系求出抛物线与x轴的交点．