Question

14．如图，直线y=-x+b与反比例函数y=$\frac{k}{x}$（k≠0）的图象的一支交于C（1，4），E两点，CA⊥y轴于点A，EB⊥x轴于点B，则以下结论：
①k的值为4；
②△BED是等腰直角三角形；
③S_△ACO=S_△BEO；
④S_△CEO=15；
⑤点D的坐标为（5，0）．其中正确的是（　　）

• A． ①②③
• B． ①②③④
• C． ②③④⑤
• D． ①②③⑤

Answer 1

分析 ①只需把点C的坐标代入两个函数的解析式，就可得到k和b的值；②易证OD=OF，从而可得∠ODF=45°，即可证到△BED是等腰直角三角形；③只需根据反比例函数中系数k的几何意义，就可求出△ACO和△BEO的面积；④只需根据点C、E、D的坐标就可求出△COE的面积；⑤把y_D=0代入直线的解析式，就可解决问题．

解答 解：①∵直线y=-x+b与反比例函数y=$\frac{k}{x}$（k≠0）的图象的一支交于C（1，4），
∴4=-1+b，k=xy=1×4=4，故①正确；
②∵点D、F分别是直线y=-x+5与x轴、y轴的交点，
∴点D的坐标为（5，0），点F的坐标为（0，5），
∴OD=OF=5．
∵∠DOF=90°，
∴∠ODF=45°．
∵EB⊥x轴，
∴△BED是等腰直角三角形，故②正确；
③∵反比例函数y=$\frac{4}{x}$，
∴S_△ACO=S_△BEO=|4|=4，故③正确；
④解方程组$\left\{\begin{array}{l}{y=-x+5}\\{y=\frac{4}{x}}\end{array}\right.$，得$\left\{\begin{array}{l}{x=1}\\{y=4}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{x=4}\\{y=1}\end{array}\right.$，
∴E的坐标为（4，1），
∴△OCE的面积=△OCD的面积-△ODE的面积=$\frac{1}{2}$×5×4-$\frac{1}{2}$×5×1=$\frac{15}{2}$，故④错误；
⑤∵点D是直线y=-x+5与y轴的交点，
∴点D的坐标为（5，0），故⑤正确；
故选（D）

点评 本题主要考查了一次函数与反比例函数的交点、直线上点的坐标特征、等腰直角三角形的判定与性质、三角形的面积公式等知识，求出点D、E、F的坐标是解决本题的关键．