Question

16．取一副三角板按图1拼接，固定三角板ADC，将三角板ABC绕点A按顺时针方向旋转一个大小为α的角（0°＜α≤45°）得三角形ABC′如图所示．试问：
（1）当旋转到图2的位置时，则α=45°；
（2）当α=15°时，能使图3中的AB∥CD；
（3）连接BD，当0°＜α≤45°时，探寻∠DBC′+∠CAC′+∠BDC值的大小变化情况，并给出你的说明．

Answer 1

分析 （1）当旋转到图③所示位置时，α=45°；
（2）若AB∥DC，则∠BAC=∠C=30°，得到α=∠BAC′-∠BAC=45°-30°=15°；
（3）连接CC′，BD，BO，在△BDO和△OCC′中，利用三角形内角和定理得到∠BDO+∠DBO=∠OCC′+∠OC′C，即可求得∠DBC′+∠CAC′+∠BDC=105°，即得到∠DBC′+∠CAC′+∠BDC值的大小不变．

解答 解：（1）当旋转到图2所示位置时，
∵AB边旋转了45°，
∴α=45°，
故答案为：45°；

（2）如图3，
∵AB∥DC，
∴∠BAC=∠C=30°，
∴α=∠BAC′-∠BAC=45°-30°=15°，
所以当α=15°时，AB∥DC，
故答案为：15°；

（3）当0°＜α≤45°时，∠DBC′+∠CAC′+∠BDC值的大小不变．
连接CC′，BD，BO，在△BDO和△OCC′中，∠BOD=∠COC′，
∴∠BDO+∠DBO=∠OCC′+∠OC′C，
∴∠DBC′+∠CAC′+∠BDC=∠BDO+∠α+∠DBO=∠OCC′+∠OC′C+∠α，
=180°-∠ACD-∠AC′B，
=180°-45°-30°
=105°，
∴当0°＜α≤45°时，∠DBC′+∠CAC′+∠BDC值的大小不变．

点评 本题主要考查了旋转的性质和三角形的内角和定理，旋转前后的两个图形全等，对应点与旋转中心的连线段的夹角等于旋转角，对应点到旋转中心的距离相等是解答此题的关键．