Question

5．如图1，△ABC是等腰直角三角形，∠BAC=90°，AB=AC，四边形ADEF是正方形，点B、C分别在边AD、AF上，此时BD=CF，BD⊥CF成立．

（1）当△ABC绕点A逆时针旋转θ（0°＜θ＜90°）时，如图2，BD=CF成立吗？若成立，请证明；若不成立，请说明理由．
（2）当△ABC绕点A逆时针旋转45°时，如图3，延长DB交CF于点H．
①求证：BD⊥CF．
②当AB=2，AD=3$\sqrt{2}$时，求线段BD的长．

Answer 1

分析 （1）结论：BD=CF．只要证明△ABD≌△ACF即可．
（2）①在利用“8字型”证明∠FHN=∠DAN=90°，即可解决问题．
②如图4中，连接DF，延长AB，与DF交于点M．在Rt△BDM中，切线BM、DM，再利用勾股定理即可解决问题．

解答 （l）解：如图2中，BD=CF成立．

理由：由旋转得：AC=AB，∠CAF=∠BAD=θ；AF=AD，
在△ABD和△ACF中，
$\left\{\begin{array}{l}{AD=AF}\\{∠BAD=∠CAF}\\{AB=CA}\end{array}\right.$，
∴△ABD≌△ACF，
∴BD=CF．

（2）①证明：如图3中，

由（1）得，△ABD≌△ACF，
∴∠HFN=∠ADN，
∵∠HNF=∠AND，∠AND+∠AND=90°
∴∠HFN+∠HNF=90°
∴∠NHF=90°，
∴HD⊥HF，即BD⊥CF．

②如图4中，连接DF，延长AB，与DF交于点M．

∵四边形ADEF是正方形，
∴∠MDA=45°，
∵∠MAD=45°
∴∠MAD=∠MDA，∠AMD=90°，
∴AM=DM，
∵AD=3$\sqrt{2}$，
 在△MAD中，AM²+DM²=AD²，
∴AM=DM=3，
∴MB=AM-AB=3-2=1，
在△BMD中，BM²+DM²=BD²，
∴BD=$\sqrt{{3}^{2}+{1}^{2}}$=$\sqrt{10}$．

点评 本题考查四边形综合题、正方形的性质、等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定和性质、勾股定理等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，属于中考压轴题．