Question

1．若以△ABC两边AB、BC为边分别向外作等腰Rt△ABE和等腰Rt△BCH，连接AH、CE交于点O，过点B作BM⊥AC，垂足为M，延长MB交EH于N，求证：
（1）AH=CE；
（2）AH⊥CE；
（3）EN=HN．

Answer 1

分析 （1）根据等腰直角三角形的性质得到AB=BE，BC=BH，∠ABE=∠CBH=90°，求得∠ABH=∠EBC，推出△ABH≌△EBC，根据全等三角形的性质得到结论；
（2）根据全等三角形的性质得到∠BAH=∠CEB，推出A，G，B，E四点共圆，根据圆周角定理得到∠AGE=∠ABE=90°，即可得到结论；
（3）过E作EF⊥MN于F，HQ⊥MN于Q，根据余角的性质得到∠HBQ=∠BCM，推出△BHQ≌△BMC，根据全等三角形的性质得到HQ=BM，同理EF=BM，等量代换得到EF=HQ，推出△EFN≌△HQN，根据全等三角形的性质即可得到结论．

解答 证明：（1）∵△ABE与△BCH是等腰直角三角形，
∴AB=BE，BC=BH，∠ABE=∠CBH=90°，
∴∠ABH=∠EBC，
在△ABH与△EBC中，$\left\{\begin{array}{l}{AB=BE}\\{∠ABH=∠EBC}\\{BH=BC}\end{array}\right.$，
∴△ABH≌△EBC，
∴AH=CE；

（2）∵△ABH≌△EBC，
∴∠BAH=∠CEB，
∴A，G，B，E四点共圆，
∴∠AGE=∠ABE=90°，
∴AH⊥CE；

（3）过E作EF⊥MN于F，HQ⊥MN于Q，
∵∠HBQ+∠MBC=90°，∠BCM+∠MBC=90°，
∴∠HBQ=∠BCM，
在△BHQ与△BMC中，$\left\{\begin{array}{l}{∠HBQ=∠BCM}\\{∠HQB=∠BMC=90°}\\{BH=BC}\end{array}\right.$，
∴△BHQ≌△BMC，
∴HQ=BM，同理EF=BM，
∴EF=HQ，
在△EFN与△HQN中，$\left\{\begin{array}{l}{∠F=∠HQN=90°}\\{EF=HQ}\\{∠ENF=∠HNQ}\end{array}\right.$，
∴△EFN≌△HQN，
∴EN=HN．

点评 本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，四点共圆，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键．