Question

如图，△ABC中，∠C＞∠B，AE为角平分线，AD⊥BC于D．
（1）求证：∠EAD=

1

2

（∠C-∠B）；
（2）当垂足D点在直线BC上运动时（不与点E重全），垂线交直线AE于A′，其他条件不变画出相应的图形，并指出与在（1）相应的结论是什么？是否仍成立？

Answer 1

考点：三角形内角和定理,三角形的外角性质

专题：

分析：（1）根据三角形内角和定理求出∠BAC，再根据角平分线的定义求出∠BAE，然后根据直角三角形两锐角互余求出∠BAD，最后根据∠EAD=∠BAD-∠BAE代入即可得解；
（2）按要求画出图形，与在（1）相应的结论是∠EA′D=

1

2

（∠C-∠B），类比（1）的求法得出答案即可．

解答：（1）证明：在△ABC中，∠BAC=180°-∠B-∠ACB，
∵AE平分∠BAC交BC于E，
∴∠1=∠BAC=

1

2

（180°-∠B-∠C）=90°-

1

2

（∠B+∠C），
∵∠B=40°，AD⊥BC，
∴∠BAD=90°-∠B，
∴∠EAD=∠BAD-∠BAE=90°-∠B-90°+

1

2

（∠B+∠C）=

1

2

（∠C-∠B）．
（2）如图所示，

过点A作AG⊥BC于点G，则A′D∥AG，∠DA′E=∠EAG，
∵∠AGC=90°，
∴∠CAG=90°-∠C．
∵∠BAC+∠B+∠C=180°，
∴∠BAC=180°-∠B-∠C，
∵∠BAE=∠CAE，
∴∠CAE=

1

2

∠BAC=

1

2

（180°-∠B-∠C）=90°-

1

2

（∠B+∠C）．
∵∠EAG=∠CAE-∠CAG=90°-

1

2

（∠B+∠C）-（90°-∠C）
=

1

2

（∠C-∠B），
∴∠EA′D=

1

2

（∠C-∠B）．

点评：本题主要考查了三角形的内角和定理和三角形的高、角平分线的性质，学生应熟练掌握三角形的高、中线和角平分线这些基本知识，能灵活运用解决问题．