题目内容
在平面直角坐标系中，点O是原点．直线l：y=-| 4 |
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（1）求直线与y轴的交点P的坐标和线段BC的长度；
（2）?①若CD=1，求点D的坐标；?
②过点D作直线m∥l，交x轴于点E，连接CE，当点D在线段CB上运动时，求出使得三角形CDE的面积最大时点D的位置；?
③在直线CB上是否存在点D使三角形CDE的面积等于
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考点：一次函数综合题
专题：
分析：（1）令x=0，求得y的值即可求得P的坐标，根据△ABC～△APO即可求得BC的长；
（2）根据直线l的解析式求得直线BC的斜率，根据斜率即可求得
=
，?
=
，
=
，然后再根据BD的长即可求得DE、BE，进而求得OE，从而求得D的坐标；分类讨论：若点D在点C左边，若点D在点C右边两种情况求解；
（3）分类讨论即可求得．
（2）根据直线l的解析式求得直线BC的斜率，根据斜率即可求得
| OC |
| OB |
| 3 |
| 4 |
| BE |
| BD |
| 4 |
| 5 |
| DE |
| BD |
| 3 |
| 5 |
（3）分类讨论即可求得．
解答：解：（1）令x=0，则y=
，
∴直线与y轴的交点P（0，
），
∵∠ACB=∠POA=90°，∠BAC=∠PAO，
∴△ABC～△APO，
∴
=
，
∵直线l：y=-
x+
与x轴交于点A，过点B（-3，0），
∴A（2，0），
∵OP=
，OA=2，AB=5，
∴AP=
=
，
∴
=
，
∴BC=4；
（2）分类讨论：
若点D在点C左边，
∵CD=1，BC=4，
∴BD1=3，
∵BC⊥l，直线l：y=-
x+
，
∴直线BC的斜率为
，
∴
=
，
∴sin∠OBC=
，cos∠OBC=
，
∴cos∠OBC=
=
，sin∠OBC=
=
，
∴BE1=
，D1E1=
，
∴OE1=OB-BE1=
，
∴D1(-
，
)，
若点D在点C右边，则BD2=5，同理可证sin∠OBC=
=
，cos∠OBC=
=
，
所以D2 E2=3，BE2=4，
∴OE2=4-3=1，
∴D2 （1，3）；
②如图2所示，设CD=a，则BD=4-a，
∵m∥l，BC⊥l
∴BC⊥m
∴△BDE是直角三角形，
∵tan∠DBE=
，
∴DE=
BD=
（4-a），
∴S△CDE=
•
（4-a）a=-
（a-2）2+
，
∴当a=2时△CDE的面积最大，
此时D（-
，
）；
③如图3所示
当D在线段BC上时，由于△CDE的最大值是
，所以在线段BC上不存在这样的D点，
当D在C的右侧时，S△CDE=
•
（a+4）a=
，
解得：a=2，此时D（
，
），
当D在B的左侧时，S△CDE=
•
（a-4）a=
，
解得：a=6，此时D（-
，-
）；
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∴直线与y轴的交点P（0，
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| 3 |
∵∠ACB=∠POA=90°，∠BAC=∠PAO，
∴△ABC～△APO，
∴
| BC |
| OP |
| AB |
| AP |
∵直线l：y=-
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∴A（2，0），
∵OP=
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∴AP=
| OA2+OP2 |
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∴
| BC | ||
|
| 5 | ||
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∴BC=4；
（2）分类讨论：
若点D在点C左边，
∵CD=1，BC=4，
∴BD1=3，
∵BC⊥l，直线l：y=-
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| 3 |
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∴直线BC的斜率为
| 3 |
| 4 |
∴
| OC |
| OB |
| 3 |
| 4 |
∴sin∠OBC=
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| 5 |
| 4 |
| 5 |
∴cos∠OBC=
| BE1 |
| BD1 |
| 4 |
| 5 |
| D 1E1 |
| BD1 |
| 3 |
| 5 |
∴BE1=
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∴OE1=OB-BE1=
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∴D1(-
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若点D在点C右边，则BD2=5，同理可证sin∠OBC=
| D 2E2 |
| BD2 |
| 3 |
| 5 |
| BE2 |
| BD2 |
| 4 |
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所以D2 E2=3，BE2=4，
∴OE2=4-3=1，
∴D2 （1，3）；
②如图2所示，设CD=a，则BD=4-a，
∵m∥l，BC⊥l
∴BC⊥m
∴△BDE是直角三角形，
∵tan∠DBE=
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∴DE=
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∴S△CDE=
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∴当a=2时△CDE的面积最大，
此时D（-
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③如图3所示
当D在线段BC上时，由于△CDE的最大值是
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当D在C的右侧时，S△CDE=
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解得：a=2，此时D（
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当D在B的左侧时，S△CDE=
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解得：a=6，此时D（-
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点评：本题是一次函数的综合题，主要考查了直线与坐标轴的交点以及两条直线垂直或平行的性质，三角形相似的判定和性质，直角三角函数的应用等，本题的关键是根据题意考虑全面，分多种情况分类讨论．
练习册系列答案
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