Question

在平面直角坐标系中，抛物线C₁：y=ax²+4x+4a （0＜a＜2），
（1）当C₁与x轴有唯一交点时，求C₁的解析式．
（2）若a=1，将抛物线C₁先向右平移2个单位，再向下平移1个单位得抛物线C₂，抛物线C₂与x轴相交于M、N两点（M点在N点的左边），直线y=kx（k＞0）与抛物线C₂相交于P、Q（P在第三象限）且△NOQ的面积是△MOP的面积的4倍．求k的值．
（3）若A（1，y_A），B（0，y_B），C（-1，y_c）三点均在C₁上，连BC，作AE∥BC交抛物线C₁于E，求证：当a值变化时，E点在一条直线上．

Answer 1

考点：二次函数综合题

专题：压轴题

分析：（1）利用根的判别式列方程求出a，然后写出即可；
（2）先求出平移后的抛物线的解析式，再设点P（x，y），Q（x_Q，y_Q），根据三角形的面积求出y_Q=4y，从而得到x_Q=-4x，然后根据点P、Q是抛物线与直线的交点，利用根与系数的关系求出点P、Q的横坐标，再求出k值即可；
（3）作CD⊥y轴于D，作AQ⊥x轴于Q，作EG⊥AQ于G，求出△AEG与△BCD相似，设E（x，y），然后表示出AG、EG、BD、CD，再根据相似三角形对应边成比例列式求解得到x=-2．

解答： 解：（1）∵C₁与x轴有唯一交点，
∴△=4²-4•a•a=0，
解得a=±1，
∵0＜a＜2，
∴a=1，
∴C₁的解析式为y=x²+4x+4；

（2）y=x²+4x+4=（x+2）²，
∵抛物线C₁先向右平移2个单位，再向下平移1个单位得抛物线C₂，
∴抛物线C₂为y=x²-1，
∴MO=NO，
设P（x，y），Q（x_Q，y_Q），
∵△NOQ的面积是△MOP的面积的4倍，
∴y_Q=-4y，
∴x_Q=-4x，
∵x、x_Q为方程x²-1=kx的两根，
∴x•x_Q=-1，
∴x=-

1

2

，x_Q=2，
∴k=（-

1

2

+2）=

3

2

；

（3）作CD⊥y轴于D，作AQ⊥x轴于Q，作EG⊥AQ于G，
则△AEG∽△BCD，
∴

AG

BD

=

EG

CD

，
设E（x，y），
∴y_A=a+4+4a=5a+4，y_B=4a，y_C=a-4+4a=5a-4，y_E=ax²+4x+4a，
∴AG=（5a+4）-（ax²+4x+4a）=a（1-x²）+4（1-x），
EG=1-x，
BD=4a-（5a-4）=4-a，
CD=1，
所以，

a(1-x2)+4(1-x)

4-a

=

1-x

1

，
∵x≠1，
∴a（1+x）+4=4-a，
解得x=-2，
即：E点在直线x=-2上．

点评：本题是二次函数综合题型，主要利用了抛物线与x轴的交点问题，根的判别式，二次函数图象与几何变换，三角形的面积，相似三角形的面积，难点在于（3）作辅助线构造出相似三角形．