Question

9． 已知：如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠C=90°，AB=AD=50，BC=64，连结BD，AE⊥BD垂足为E，
（1）求证：△ABE∽△DCB；
（2）求线段DC的长．

Answer 1

分析 （1）由AD∥BC得出∠ADB=∠DBC，再由AB=AD得出∠ADB=∠ABD，从而∠ABD=∠DBC，另外AE⊥BD，故∠AEB=∠C=90°，结论显然；
（2）作AF⊥BC于F，则AF=CD，FC=AD，算出BF，从而由勾股定理算出AF．

解答 解：（1）证明：
∵AD∥BC，
∴∠ADB=∠DBC，
∵AB=AD，
∴∠ADB=∠ABD，
∴∠ABD=∠DBC，
∵AE⊥BD，
∴∠AEB=∠C=90°，
∴△ABE∽△DCB；
（2）作AF⊥BC于F，如图，

∵AD∥BC，∠C=90°，
∴AFCD是矩形，
∴FC=AD=50，AF=CD，
∴BF=BC-FC=64-50=14，
∴AF=$\sqrt{A{B}^{2}-B{F}^{2}}$=48，
∴DC=48．

点评 本题主要考查了平行线的性质、等腰三角形的性质、相似三角形的判定与性质、矩形的判定与性质、勾股定理等知识点，属于基础题．熟练掌握基本几何图形和相关定理是解答关键．