Question

4．如图1，有一个面积为1的正方形，经过一次“生长”后，在它的左右肩上生出两个小正方形，如图2，其中，三个正方形围成的三角形是直角三角形．再经过一次“生长”后，变成图3；“生长”10次后，如果继续“生长”下去，它将变得更加“枝繁叶茂”．随着不断地“生长”，形成的图形中所有正方形的面积和也随之变化．若生长n次后，变成的图中所有正方形的面积用S_n表示，求回答：

（1）S₀=1    ，S₁=2，S₂=3，S₃=4；
（2）S₀+S₁+S₂+…+S₁₀=66．

Answer 1

分析 （1）求出每一次生长后所生长出的四边形面积，找出变化规律即可；
（2）根据（1）中的规律即可得出结论．

解答 解：（1）∵正方形的面积为1，
∴第一次生长后长出的三角形面积为S_A+S_B=1；
第二次生长后长出的三角形面积为S_D+S_C+S_A+S_B=1；
第三次生长后长出的三角形面积为：1；
第四次生长后长出的三角形面积为：1；
∴S₀=1，S₁=2，S₂=3，S₃=4．
故答案为：1，2，3，4；

（2）根据（1）中的规律可知，S₀+S₁+S₂+…+S₁₀=1+2+3+4+5+6+7+8+9+10+11=66．
故答案为：66．

点评 本题考查的是勾股定理，熟知在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方是解答此题的关键．