Question

2．为弘扬中华传统文化，某徽章设计公司设计了如图所示的一种新式徽章，每件的成本是50元，为了合理定价，先投放在某饰品店进行试销．试销发现，该徽章销售单价为100元时，每天的销售量是50件，且当销售单价每降低1元时，每天就可多售出5件．
（1）如果该店每天要使该徽章的销售利润为4000元，则销售单价应定为多少元？
（2）该店每天该徽章的销售是否有最大利润？若有，请求出最大利润及销售单价，若没有，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）利用每件商品利润×销量=总利润4000，得出关系式求出即可；
（2）把（1）中的二次函数解析式转化为顶点式方程，利用二次函数图象的性质进行解答．

解答 解：（1）设应将单价降低x元，则商店每天的销售量为（50+5x）件，
由题意得（50-x）（50+5x）=4000，
解得：x₁=10，x₂=30．
答：如果要使该企业每天的销售利润为4000元，应将销售单价应定为70元或90元；
（2）y=-5x²+800x-27500
=-5（x-80）²+4500
∵a=-5＜0，
∴抛物线开口向下．
∵50≤x≤100，对称轴是直线x=80，
∴当x=80时，y_最大值=4500；
即销售单价为80元时，每天的销售利润最大，最大利润是4500元．

点评 此题题考查二次函数的实际应用．为数学建模题，借助二次函数解决实际问题．