Question

9．三角形的两边a、b的夹角为60°且满足方程x²-3$\sqrt{2}$x+4=0，则第三边的长是（　　）

• A． $\sqrt{6}$
• B． 2$\sqrt{2}$
• C． 2$\sqrt{3}$
• D． 3$\sqrt{2}$

Answer 1

分析 先利用因式分解法解方程x²-3$\sqrt{2}$x+4=0得到a=2$\sqrt{2}$，b=$\sqrt{2}$，如图，△ABC中，a=2$\sqrt{2}$，b=$\sqrt{2}$，∠C=60°，作AH⊥BC于H，再在Rt△ACH中，利用含30度的直角三角形三边的关系得到CH=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，AH=$\frac{\sqrt{6}}{2}$，则BH=$\frac{3\sqrt{2}}{2}$，然后在Rt△ABH中利用勾股定理计算AB的长即可．

解答 解：x²-3$\sqrt{2}$x+4=0，
（x-2$\sqrt{2}$）（x-$\sqrt{2}$）=0，
所以x₁=2$\sqrt{2}$，x₂=$\sqrt{2}$，
即a=2$\sqrt{2}$，b=$\sqrt{2}$，
如图，△ABC中，a=2$\sqrt{2}$，b=$\sqrt{2}$，∠C=60°，
作AH⊥BC于H，
在Rt△ACH中，∵∠C=60°，
∴CH=$\frac{1}{2}$AC=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，AH=$\sqrt{3}$CH=$\frac{\sqrt{6}}{2}$，
∴BH=2$\sqrt{2}$-$\frac{\sqrt{2}}{2}$=$\frac{3\sqrt{2}}{2}$，
在Rt△ABH中，AB=$\sqrt{（\frac{\sqrt{6}}{2}）^{2}+（\frac{3\sqrt{2}}{2}）^{2}}$=$\sqrt{6}$，
即三角形的第三边的长是$\sqrt{6}$．
故选A．

点评 本题考查了解一元二次方程-因式分解法：因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，这种方法简便易用，是解一元二次方程最常用的方法．也考查了解直角三角形．