Question

1．如图，在△ABC中，AB=BC=2，∠ABC=120°，将△ABC绕点B旋转30°得到△A₁BC₁，设AC交A₁C₁于点D，则点D到AB的距离为$\sqrt{3}$-1或1．

Answer 1

分析 ①如图1，根据旋转的性质得到∠CBC₁=30°，A₁B=AB=BC=BC₁=2，以B为原点，直线AB为x轴，直线BC¹为y轴建立平面直角坐标系，根据等腰三角形的性质得到∠BAC=∠C=30°，解直角三角形得到A（-2，0），C₁（0，2），A₁（-$\sqrt{3}$，-1），C（1，$\sqrt{3}$），求得直线AC的解析式为y=$\frac{\sqrt{3}}{3}$x+$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，直线A₁C₁的解析式为y=$\sqrt{3}$x+2，联立方程组即可得到结论；②如图2，根据旋转的性质得到∠CBC₁=30°，A₁B=AB=BC=BC₁=2，根据等腰三角形的性质得到∠A=∠C=∠C₁=30°，推出四边形ABC₁D是平行四边形，得到四边形ABC₁D是菱形，然后解直角三角形即可得到结论．

解答 解：①如图1，∵将△ABC绕点B逆时针旋转30°得到△A₁BC₁，
∴∠CBC₁=30°，A₁B=AB=BC=BC₁=2，
∵∠ABC=120°，
∴∠ABC₁=90°，
以B为原点，直线AB为x轴，直线BC¹为y轴建立平面直角坐标系，
∵AB=BC=2，∠ABC=120°，
∴∠BAC=∠C=30°，
∴A（-2，0），C₁（0，2），A₁（-$\sqrt{3}$，-1），C（1，$\sqrt{3}$），
∴直线AC的解析式为y=$\frac{\sqrt{3}}{3}$x+$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，
直线A₁C₁的解析式为y=$\sqrt{3}$x+2，
解$\left\{\begin{array}{l}{y=\frac{\sqrt{3}}{3}x+\frac{2\sqrt{3}}{3}}\\{y=\sqrt{3}x+2}\end{array}\right.$得$\left\{\begin{array}{l}{x=1-\sqrt{3}}\\{y=\sqrt{3}-1}\end{array}\right.$，
∴D（1-$\sqrt{3}$，$\sqrt{3}$-1），
∴点D到AB的距离为$\sqrt{3}$-1；
②如图2，∵将△ABC绕点B逆时针旋转30°得到△A₁BC₁，
∴∠CBC₁=30°，A₁B=AB=BC=BC₁=2，
∵∠ABC=120°，
∴∠A=∠C=∠C₁=30°，
∴∠ABC₁=150°，
∴∠ADC₁=150°，
∴∠A=∠C₁，∠ABC₁=∠ADC₁，
∴四边形ABC₁D是平行四边形，
∵AB=BC₁=2，
∴四边形ABC₁D是菱形，
∴AD=2，
过D作DE⊥于E，
∵∠A=30°，
∴DE=$\frac{1}{2}$AD=1，
综上所述：点D到AB的距离为：$\sqrt{3}$-1或1，
故答案为：$\sqrt{3}$-1或1．

点评 本题考查了旋转的性质，等腰三角形的性质，直角三角形的性质，求函数的解析式，正确的理解题意是解题的关键．