Question

先观察下列等式，再回答问题：

1+ 1 12 + 1 22

=1+

1

1

-

1

1+1

=1

1

2

；

1+ 1 22 + 1 32

=1+

1

2

-

1

2+1

=1

1

6

1+ 1 32 + 1 42

=1+

1

3

-

1

3+1

=1

1

12

（1）根据上面三个等式提供的信息，请你猜想

1+ 1 42 + 1 52

的结果，并进行验证；
（2）请按照上面各等式反映的规律，试用含n的式子表示出来；
（3）若S=

1+ 1 12 + 1 22

+

1+ 1 22 + 1 32

+

1+ 1 32 + 1 42

+…+

1+ 1 20132 + 1 20142

，求S．

Answer 1

考点：二次根式的性质与化简

专题：规律型

分析：（1）从三个式子中可以发现，第一个加数都是1，第二个加数是个分数，设分母为n，第三个分数的分母就是n+1，结果是一个带分数，整数部分是1，分数部分的分子也是1，分母是前项分数的分母的积．所以由此可计算给的式子；
（2）根据（1）找的规律写出表示这个规律的式子．；
（3）根据规律得出算式，最后求出即可．

解答：解：（1）

1+ 1 42 + 1 52

=1

1

20

，
理由是：

1+ 1 42 + 1 52

=

1+ 1 16 + 1 25

=

441 16×25

=

21

20

=1

1

20

；

（2）

1+ 1 n2 + 1 (n+1)2

=1+

1

n

-

1

n+1

=1+

1

n(n+1)

；

（3）S=

1+ 1 12 + 1 22

+

1+ 1 22 + 1 32

+

1+ 1 32 + 1 42

+…+

1+ 1 20132 + 1 20142

=1+

1

1×2

+1+

1

2×3

+1+

1

3×4

+…+1+

1

2013×2014

=2013+1-

1

2

+

1

2

-

1

3

+

1

3

-

1

4

+…+

1

2013

-

1

2014

=2013+1-

1

2014

=2013

2013

2014

．

点评：考查了二次根式的性质与化简，此题是一个阅读题目，通过阅读找出题目隐含条件．总结：找规律的题，都要通过仔细观察找出和数之间的关系，并用关系式表示出来．