Question

3．如图，抛物线y=-（x+1）（x-m）交x轴于A，B两点（A在B的左侧，m＞0），交y轴正半轴于点C，过点C作x轴的平行线交抛物线于另一点E，抛物线的对称轴交CE于点F，以C为圆心画圆，使⊙C经过点（0，2）．

（1）直接写出OB，OC的长．（均用含m的代数式表示）
（2）当m＞2时，判断点E与⊙C的位置关系，并说明理由．
（3）当抛物线的对称轴与⊙C相交时，其中下方的交点为D．连结CD，BD，BC．
①当m＞3，且C，D，B三点在同一直线上时，求m的值．
②当△BCD是以CD为腰的等腰三角形时，求m的值．（直接写出答案即可）

Answer 1

分析 （1）由抛物线y=-（x+1）（x-m）可知A（-1，0），B（m，0），得出OB=m，令x=0，求得y=m，得出OC=m；
（2）根据抛物线的对称性求得CE=m-1，因为⊙C经过点（0，2），所以⊙C的半径为m-2，根据m-2＜m-1，即可判定点E在⊙C外；
（3）①先证得△BOC是等腰直角三角形，进而证得△CDF是等腰直角三角形，得出CD=$\sqrt{2}$CF，即m-2=$\sqrt{2}$•$\frac{m-1}{2}$，解得m=3+$\sqrt{2}$；
②由CD=m-2，CF=$\frac{m-1}{2}$，根据勾股定理FD=$\sqrt{C{D}^{2}-C{F}^{2}}$=$\sqrt{\frac{（3m-5）（m-3）}{4}}$，得出DG=m-$\sqrt{\frac{（3m-5）（m-3）}{4}}$，根据CD=DB，得出D在直线BC的垂直平分线上，根据OB=OC=m，得出直线BC的垂直平分线为y=x，代入D（$\frac{m-1}{2}$，m-$\sqrt{\frac{（3m-5）（m-3）}{4}}$），整理得出m²-8m+7=0，解得m₁=1，m₂=7．

解答 解：（1）由抛物线y=-（x+1）（x-m）可知A（-1，0），B（m，0），
∴OB=m，
令x=0，求得y=m，
∴C（0，m），
∴OC=m；
（2）∵OA=1，OB=m，
∴CE=m-1，
∵⊙C经过点（0，2），
∴⊙C的半径为m-2，
∵m-2＜m-1，
∴点E在⊙C外；
（3）①∵OB=OC=m，
∴△BOC是等腰直角三角形，
∴∠OCB=45°，
∴∠BCE=45°，
∵C，D，B三点在同一直线上，
∴△CDF是等腰直角三角形，
∴CD=$\sqrt{2}$CF，即m-2=$\sqrt{2}$•$\frac{m-1}{2}$，
解得m=3+$\sqrt{2}$；
②∵CD=m-2，CF=$\frac{m-1}{2}$，
∴FD=$\sqrt{C{D}^{2}-C{F}^{2}}$=$\sqrt{\frac{（3m-5）（m-3）}{4}}$，
∴D（$\frac{m-1}{2}$，m-$\sqrt{\frac{（3m-5）（m-3）}{4}}$），
∵△BCD是以CD为腰的等腰三角形，
∴D在直线BC的垂直平分线上，
∵OB=OC=m，
∴直线BC的垂直平分线为y=x，
把D（$\frac{m-1}{2}$，m-$\sqrt{\frac{（3m-5）（m-3）}{4}}$）代入得，$\frac{m-1}{2}$=m-$\sqrt{\frac{（3m-5）（m-3）}{4}}$，
整理得m²-8m+7=0，解得m₁=1，m₂=7，
∴当△BCD是以CD为腰的等腰三角形时，m的值为1或7．

点评 本题是二次函数的综合题，考查了二次函数图象上点的坐标特征，等腰直角三角形的判定和性质，直线和圆的位置关系，等腰三角形的判定等，数形结合是解题的关键．