Question

15．如图1，将三角板放在正方形ABCD上，使三角板的直角顶点E与正方形ABCD的顶点A重合．三角板的一边交CD于点F，另一边交CB的延长线于点G．
（1）求证：EF=EG；
（2）如图2，移动三角板，使顶点E始终在正方形ABCD的对角线AC上，其他条件不变，（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由；
（3）如图3，将（2）中的“正方形ABCD”改为“矩形ABCD”，且使三角板的一边经过点B，其他条件不变，若AB=a，BC=b，请直接写出$\frac{EF}{EG}$的值．

Answer 1

分析 （1）由∠GEB+∠BEF=90°，∠DEF+∠BEF=90°，可得∠DEF=∠GEB，又由正方形的性质，可利用ASA证得Rt△FED≌Rt△GEB，则问题得证；
（2）首先过点E分别作BC、CD的垂线，垂足分别为H、P，然后利用ASA证得Rt△FEP≌Rt△GEH，则问题得证；
（3）首先过点E分别作BC、CD的垂线，垂足分别为M、N，易证得EM∥AB，EN∥AD，则可证得△CEN∽△CAD，△CEM∽△CAB，又由有两角对应相等的三角形相似，证得△GME∽△FNE，根据相似三角形的对应边成比例，即可求得答案．

解答 （1）证明：如图1，∵∠GEB+∠BEF=90°，∠DEF+∠BEF=90°，
∴∠DEF=∠GEB，
在△FED和△GEB中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠DEF=∠GEB}\\{ED=EB}\\{∠D=∠EBG}\end{array}\right.$，
∴△FED≌△GEB（ASA），
∴EF=EG；

（2）解：成立．
证明：如图2，过点E作EH⊥BC于H，过点E作EP⊥CD于P，
∵四边形ABCD为正方形，
∴CE平分∠BCD，
又∵EH⊥BC，EP⊥CD，
∴EH=EP，
∴四边形EHCP是正方形，
∴∠HEP=90°，
∵∠GEH+∠HEF=90°，∠PEF+∠HEF=90°，
∴∠PEF=∠GEH，
∴在Rt△FEP与Rt△GEH中，$\left\{\begin{array}{l}{∠PEF=∠GEH}\\{∠EPF=∠EHG}\\{EP=EH}\end{array}\right.$，
∴△FEP≌△GEH（AAS），
∴EF=EG；

（3）解：如图3，过点E作EM⊥BC于M，过点E作EN⊥CD于N，垂足分别为M、N，
则∠MEN=90°，
∴EM∥AB，EN∥AD．
∴△CEN∽△CAD，△CEM∽△CAB，
∴$\frac{NE}{AD}$=$\frac{CE}{CA}$，$\frac{EM}{AB}$=$\frac{CE}{CA}$，
∴$\frac{NE}{AD}$=$\frac{EM}{AB}$，即$\frac{EN}{EM}$=$\frac{AD}{AB}$=$\frac{CB}{AB}$=$\frac{b}{a}$．
∵∠NEF+∠FEM=∠GEM+∠FEM=90°，
∴∠GEM=∠FEN，
∵∠GME=∠FNE=90°，
∴△GME∽△FNE，
∴$\frac{EF}{EG}$=$\frac{EN}{EM}$，
∴$\frac{EF}{EG}$=$\frac{b}{a}$．

点评 此题考查了四边形综合题，需要掌握正方形，矩形的性质，以及全等三角形与相似三角形的判定与性质．此题综合性较强，注意数形结合思想的应用．