Question

17．课堂上，某老师给出一道数学题：如图1所示，D点在AB上，E点在AC的延长线上，且BD=CE，连接DE交BC于F，若F点是DE的中点，证明：AB=AC．
小明的思路是：过D作DG∥AE，交BC于点G，如图2；
小丽的思路是过E作EH∥AB，交BC的延长线于点H，如图3．
请根据小明或小丽的思路任选一种完成该题的证明过程．

Answer 1

分析 图2，根据平行线求出∠DGF=∠ECF，∠GDF=∠E，根据AAS推出△DFG≌△EFC，根据全等三角形的性质得出DG=CE，求出BD=DG，求出∠B=∠ACB即可；
图3，根据平行线的性质得出∠B=∠H，根据AAS推出△BDF≌△HEF，根据全等三角形的性质得出EH=BD，求出∠B=∠ACB即可．

解答 证明：图2，∵DG∥AE，
∴∠DGF=∠ECF，∠GDF=∠E，
∵F点是DE的中点，
∴DF=EF，
∵在△DFG和△EFC中
$\left\{\begin{array}{l}{∠DGF=∠ECF}\\{∠GDF=∠E}\\{DF=EF}\end{array}\right.$
∴△DFG≌△EFC（AAS），
∴DG=CE，
∵BD=CE，
∴BD=DG，
∴∠B=∠DGB，
∵DG∥AE，
∴∠DGB=∠ACB，
∴∠B=∠ACB，
∴AB=AC；
图3，∵EH∥AB，
∴∠B=∠H，
在△BDF和△HEF中
$\left\{\begin{array}{l}{∠DFB=∠EFH}\\{∠B=∠H}\\{DF=EF}\end{array}\right.$
∴△BDF≌△HEF（AAS），
∴EH=BD，
∵BD=CE，
∴CE=EH，
∴∠H=∠HCE，
∵∠H=∠B，∠HCE=∠ACB，
∴∠B=∠ACB，
∴AB=AC．

点评 本题考查了全等三角形的性质和判定，平行线的性质的应用，能熟练地运用定理进行推理是解此题的关键，注意：全等三角形的对应边相等．