Question

18．如图，G，E分别是正方形ABCD的边AB，BC上的点，且AG=CE，AE⊥EF，AE=EF，求∠FCD的度数．

Answer 1

分析 根据AE⊥EF即可得出∠AEF=90°，从而可得出∠AEB+∠FEC=90°，利用正方形的性质即可得出∠B=90°，通过角的计算即可得出∠BAE=∠FEC，结合AG=CE、AE=EF，即可证出△AGE≌△ECF（SAS），从而得出∠AGE=∠ECF，再通过等腰直角三角形的判定与性质结合角的计算即可得出结论．

解答 解：∵AE⊥EF，
∴∠AEF=90°，
∴∠AEB+∠FEC=180°-∠AEF=180°-90°=90°．
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠B=90°，AB=BC，
∴∠AEB+∠BAE=180°-90°=90°，
∴∠BAE=∠FEC．
在△AGE和△ECF中，$\left\{\begin{array}{l}{AG=EC}\\{∠GAE=∠CEF}\\{AE=EF}\end{array}\right.$，
∴△AGE≌△ECF（SAS），
∴∠AGE=∠ECF．
∵AB=BC，AG=CE，
∴BG=BE，
∴∠BGE=45°，
∴∠AGE=180°-∠BGE=180°-45°=135°，
∴∠ECF=135°，
∴∠FCD=∠ECF-∠ECD=135°-90°=45°．

点评 本题考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质以及等腰直角三角形的判定与性质，解题的关键是找出∠ECF=∠AGE=135°．本题属于中档题，难度不大，解决该题型题目时，根据全等三角形的性质找出相等的边角关系是关键．