Question

18．如图，已知I为△ABC的内心，∠EBC和∠FCB的角平分线交与点D，若∠A=α，求：
（1）∠BIC的大小；
（2）∠BDC的大小．

Answer 1

分析 （1）根据三角形的内角和定理表示出∠ABC+∠ACB，再根据角平分线的定义求出∠1+∠2，然后根据三角形的内角和定理列式整理即可；
（2）根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和与角平分线的定义表示出∠3+∠4，然后利用三角形的内角和定理列式整理即可得解．

解答 解：（1）在△ABC中，∠ABC+∠ACB=180°-∠A=180°-α，
∵I为△ABC的内心，
∴∠1+∠2=$\frac{1}{2}$（∠ABC+∠ACB）=90°-$\frac{1}{2}$α，
在△BCI中，∠BIC=180°-（90°-α）=90°+$\frac{1}{2}α$；
（2）∵∠EBC和∠FCB的角平分线交于点D
∴∠3+∠4=$\frac{1}{2}$（∠A+∠ACB）+$\frac{1}{2}$（∠A+∠ABC）=$\frac{1}{2}$∠A+$\frac{1}{2}$（∠A+∠ABC+∠ACB）=$\frac{1}{2}$∠A+90°=$\frac{1}{2}$α+90°，
在△BCD中，∠BDC=180°-（$\frac{1}{2}$α+90°）=90°-$\frac{1}{2}$α．

点评 本题考查了三角形的内心的性质、三角形的外角性质、三角形内角和定理、角平分线的定义；熟记三角形的内心性质和三角形内角和定理，求出∠1+∠2和∠3+∠4是解决问题的关键