Question

11．如图，矩形ABCD中，F是DC上一点，BF⊥AC，垂足为E，$\frac{AD}{AB}$=$\frac{1}{2}$，△CEF的面积为S₁，△AEB的面积为S₂，则$\frac{{S}_{1}}{{S}_{2}}$的值等于$\frac{1}{16}$．

Answer 1

分析 首先根据$\frac{AD}{AB}$=$\frac{1}{2}$设AD=BC=a，则AB=CD=2a，然后利用勾股定理得到AC=$\sqrt{5}$a，然后根据射影定理得到BC²=CE•CA，AB²=AE•AC从而求得CE=$\frac{\sqrt{5}a}{5}$，AE=$\frac{4\sqrt{5}a}{5}$，得到$\frac{CE}{AE}$=$\frac{1}{4}$，利用△CEF∽△AEB，求得$\frac{{S}_{1}}{{S}_{2}}$=（$\frac{CE}{AE}$）²=$\frac{1}{16}$．

解答 解：∵$\frac{AD}{AB}$=$\frac{1}{2}$，
∴设AD=BC=a，则AB=CD=2a，
∴AC=$\sqrt{5}$a，
∵BF⊥AC，
∴△CBE∽△CAB，△AEB∽△ABC，
∴BC²=CE•CA，AB²=AE•AC
∴a²=CE•$\sqrt{5}$a，2a²=AE•$\sqrt{5}$a，
∴CE=$\frac{\sqrt{5}a}{5}$，AE=$\frac{4\sqrt{5}a}{5}$，
∴$\frac{CE}{AE}$=$\frac{1}{4}$，
∵△CEF∽△AEB，
∴$\frac{{S}_{1}}{{S}_{2}}$=（$\frac{CE}{AE}$）²=$\frac{1}{16}$，
故答案为：$\frac{1}{16}$．

点评 本题考查了矩形的性质及相似三角形的判定，能够牢记射影定理的内容对解决本题起到至关重要的作用，难度不大．