Question

19．如图，在矩形ABCD中，E是BC上一点，且AE=BC，DF⊥AE，垂足是F，连接DE．求证：（1）DF=AB；（2）DE是∠FDC的平分线．

Answer 1

分析 （1）由矩形的性质得出AD=BC，AB=DC，AD∥BC，∠B=∠C=90°，得出∠DAF=∠AEB，证出AD=AE，由AAS证明△ADF≌△EAB，即可得出结论；
（2）由HL证明Rt△DEF≌Rt△DEC，得出对应角相等∠EDF=∠EDC，即可得出结论．

解答 证明：（1）∵四边形ABCD是矩形，
∴AD=BC，AB=DC，AD∥BC，∠B=∠C=90°，
∴∠DAF=∠AEB，
∵AE=BC，
∴AD=AE，
∵DF⊥AE，
∴∠AFD=∠DFE=90°，
∴∠AFD=∠B，
在△ADF和△EAB中，$\left\{\begin{array}{l}{∠DAF=∠AEB}&{\;}\\{∠AFD=∠B}&{\;}\\{AD=AE}&{\;}\end{array}\right.$，
∴△ADF≌△EAB（AAS），
∴DF=AB；
（2）∵DF=AB，AB=DC，
∴DF=DC，
在Rt△DEF和Rt△DEC中，$\left\{\begin{array}{l}{DE=DE}\\{DF=DC}\end{array}\right.$，
∴Rt△DEF≌Rt△DEC（HL），
∴∠EDF=∠EDC，
∴DE是∠FDC的平分线．

点评 本题考查了矩形的性质、全等三角形的判定与性质；熟练掌握矩形的性质，证明三角形全等是解决问题的关键．