Question

7．已知三角形的周长为13，三边长a、b、c都是整数，且满足a≤b≤c，那么满足条件的三角形有多少个？分别求出来．

Answer 1

分析 三角形的边长均为正整数，且周长等于13，根据在三角形中任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边．根据不等式即可求解．

解答 解：$\left\{\begin{array}{l}{a+b+c=13}\\{c＜a+b}\\{c≥\frac{13}{3}}\end{array}\right.$
解得$\frac{13}{3}$≤c＜$\frac{13}{2}$，由于最长的边为c，且c为整数，所以c=5或c=6；
当c=5时，有$\left\{\begin{array}{l}{a+b=8}\\{a≤b}\\{b≤5}\end{array}\right.$，解得4≤b≤5，又边都为整数，则$\left\{\begin{array}{l}{a=4}\\{b=4}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{a=3}\\{b=5}\end{array}\right.$；
当c=6时，有$\left\{\begin{array}{l}{a+b=7}\\{a≤b}\\{b≤6}\end{array}\right.$，解得$\frac{7}{2}$≤b≤6，同理的整数解$\left\{\begin{array}{l}{a=3}\\{b=4}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{a=2}\\{b=5}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{a=1}\\{b=6}\end{array}\right.$；
综上：满足条件的三角形有5个，三边长分别为$\left\{\begin{array}{l}{a=4}\\{b=4}\\{c=5}\end{array}\right.$、$\left\{\begin{array}{l}{a=3}\\{b=5}\\{c=5}\end{array}\right.$、$\left\{\begin{array}{l}{a=3}\\{b=4}\\{c=6}\end{array}\right.$、$\left\{\begin{array}{l}{a=2}\\{b=5}\\{c=6}\end{array}\right.$、$\left\{\begin{array}{l}{a=1}\\{b=6}\\{c=6}\end{array}\right.$

点评 本题考查了三角形的三边关系，利用了三角形中三边的关系求解．注意分类讨论，不重不漏．