Question

16．如图，已知等边△ABC的边长为8，以AB为直径的圆交BC于点F．以C为圆心，CF长为半径作图，D是⊙C上一动点，E为BD的中点，当AE最大时，BD的长为（　　）

• A． $4\sqrt{3}$
• B． $4\sqrt{5}$
• C． $4\sqrt{3}+2$
• D． 12

Answer 1

分析 点D在⊙C上运动时，点E在以F为圆心的圆上运到，要使AE最大，则AE过F，连接CD，由△ABC是等边三角形，AB是直径，得到EF⊥BC，根据三角形的中位线的性质得到CD∥EF，根据勾股定理即可得到结论．

解答 解：点D在⊙C上运动时，点E在以F为圆心的圆上运到，要使AE最大，则AE过F，
连接CD，∵△ABC是等边三角形，AB是直径，
∴EF⊥BC，
∴F是BC的中点，
∵E为BD的中点，
∴EF为△BCD的中位线，
∴CD∥EF，
∴CD⊥BC，
BC=8，CD=4，
故BD=$\sqrt{B{C}^{2}+C{D}^{2}}$=$\sqrt{64+16}$=4$\sqrt{5}$，
故选B．

点评 本题考查了轨迹，等边三角形的性质，圆周角定理，三角形的中位线的性质，正确的作出辅助圆是解题的关键．