题目内容
4．观察下列等式：第1个等式：a1=$\frac{1}{1×3}$=$\frac{1}{2}$×（1-$\frac{1}{3}$）．
第2个等式：a2=$\frac{1}{3×5}$=$\frac{1}{2}$×（$\frac{1}{3}$-$\frac{1}{5}$）．
第3个等式：a3=$\frac{1}{5×7}$=$\frac{1}{2}$×（$\frac{1}{5}$-$\frac{1}{7}$）．
第4个等式：a4=$\frac{1}{7×9}$=$\frac{1}{2}$×（$\frac{1}{7}$-$\frac{1}{9}$）
…
①按以上规律写出第5个等式．
②用含n的代数式表示第n个等式．
③求a1+a2+a3+a4+…+a2015的值．
④当n无限增大时，a1+a2+a3+a4+…+an无限接近哪个数？为什么？
分析 ①②由等式可以看出分子是1，分母是两个连续奇数的乘积，可以拆成以这两个奇数为分母，分子是1的两个分数的差的$\frac{1}{2}$，由此规律得出答案即可；
③代入式子，拆分后计算即可；
④通过③的结果发现，相加的数越多，数值越来越大，最后越来越接近$\frac{1}{2}$．
解答 解：①∵第1个等式：a1=$\frac{1}{1×3}$=$\frac{1}{2}$×（1-$\frac{1}{3}$），
第2个等式：a2=$\frac{1}{3×5}$=$\frac{1}{2}$×（$\frac{1}{3}$-$\frac{1}{5}$），
第3个等式：a3=$\frac{1}{5×7}$=$\frac{1}{2}$×（$\frac{1}{5}$-$\frac{1}{7}$），
第4个等式：a4=$\frac{1}{7×9}$=$\frac{1}{2}$×（$\frac{1}{7}$-$\frac{1}{9}$），
∴第5个等式：a5=$\frac{1}{9×11}$=$\frac{1}{2}$×（$\frac{1}{9}$-$\frac{1}{11}$）；
②第n个等式：an=$\frac{1}{（2n-1）（2n+1）}$=$\frac{1}{2}$×（$\frac{1}{2n-1}$-$\frac{1}{2n+1}$）；
③a1+a2+a3+a4+…+a2015
=$\frac{1}{1×3}$+$\frac{1}{3×5}$+$\frac{1}{5×7}$+…+$\frac{1}{4029×4031}$
=$\frac{1}{2}$×（1-$\frac{1}{3}$+$\frac{1}{3}$-$\frac{1}{5}$+$\frac{1}{5}$-$\frac{1}{7}$+…+$\frac{1}{4029}$-$\frac{1}{4030}$）
=$\frac{1}{2}$×$\frac{4029}{4030}$
=$\frac{4029}{8060}$；
④当n无限增大时，a1+a2+a3+a4+…+an无限接近$\frac{1}{2}$；
因为提取$\frac{1}{2}$后，括号内的数是1-$\frac{1}{2n+1}$越来越接近1，
所以当n无限增大时，无限接近$\frac{1}{2}$．
点评 此题考查数字的变化规律，找出数字之间的运算规律，理解拆分数字的变化，利用变化的规律解决问题．
如图，点P为⊙0外一点，PC与⊙0相切于点C，PO的延长线交⊙0于E，⊙0的半径为3，PC=4，求CE的长．
如图长方形的周长为20，求长方形| A． | $\frac{3}{5}$ | B． | $\frac{5}{3}$ | C． | $\frac{3}{4}$ | D． | $\frac{4}{3}$ |
如图，小明将一张正方形的纸片减去一个宽为4cm的长条后，再从剩下的长方形纸片上剪去一个宽为5cm的长条，且两次剪下的两个长条的面积正好相等．求最后剩下的图形的面积．