题目内容
【题目】如图，在平面直角坐标系中，抛物线
与
轴交于
，
两点（点在点的左侧），与
轴交于点
，对称轴与轴交于点
，点
在抛物线上.
（1）求直线
的解析式.
（2）点
为直线
下方抛物线上的一点，连接
，
.当
的面积最大时，连接
，
，点
是线段的中点，点
是线段
上的一点，点
是线段上的一点，求
的最小值.
（3）点
是线段的中点，将抛物线与轴正方向平移得到新抛物线
，经过点，的顶点为点
，在新抛物线的对称轴上，是否存在点
，使得
为等腰三角形?若存在，直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由.
【答案】（1）
；（2）3；（3）存在，点Q的坐标为
或
或
或
.
【解析】
（1）求出点A、B、E的坐标，设直线
的解析式为
，将点A和点E的坐标代入即可；
（2）先求出直线CE解析式，过点P作
轴，交CE与点F，设点P的坐标为
，则点F
，从而可表示出△EPC的面积，利用二次函数性质可求出x的值，从而得到点P的坐标，作点K关于CD和CP的对称点G、H，连接G、H交CD和CP与N、M，当点O、N、M、H在一条直线上时，KM+MN+NK有最小值，最小值＝GH，利用勾股定理求出GH即可；
(3)由平移后的抛物线经过点D，可得到点F的坐标，利用中点坐标公式可求得点G的坐标，然后分为
三种情况讨论求解即可.
解：（1）
当
时，
设直线的解析式为，将点A和点E的坐标代入得
解得
所以直线的解析式为.
（2）设直线CE的解析式为
，将点E的坐标代入得:
解得:
直线CE的解析式为
如图，过点P作轴，交CE与点F
设点P的坐标为，则点F
则FP＝
∴当
时，△EPC的面积最大，
此时
如图2所示:作点K关于CD和CP的对称点G、H，连接G、H交CD和CP与N、M
K是CB的中点，
OD＝1，OC＝3
K是BC的中点，∠OCB＝60°
点O与点K关于CD对称
点G与点O重合
∴点G(0，0)
点H与点K关于CP对称
∴点H的坐标为
当点O、N、M、H在条直线上时，KM+MN+NK有最小值，最小值＝GH
的最小值为3.
（3）如图
经过点D，
的顶点为点F
∴点
点G为CE的中点，
当FG＝FQ时，点
或
当GF＝GQ时，点F与点
关于直线
对称
点
当QG＝QF时，设点
的坐标为
由两点间的距离公式可得：
，解得
点的坐标为
综上所述，点Q的坐标为或或或
